Question

Pedro desea enviar de regalo a su primo un telescopio que tiene un tubo que mide 90 cm de largo. Sin embargo, la empresa de paquetería admite cajas que miden máximo 55 cm de lado. ¿Cómo puede hacer Pedro para enviar el telescopio si no puede cortar ni doblar el tubo? ¿Qué forma debe tener la caja? Explica ambas respuestas.

Answer 1

Pedro puede usar la caja cúbica de 55 centímetros de lado ya que si coloca el tubo en diagonal este cabe perfectamente y sobra espacio, dado que la diagonal de la caja es de 95,26 centímetros. Por tanto puede usar la caja en forma de cubo sin problema alguno      

Procedimiento:

Pedro desea enviar de regalo un telescopio el cual es un tubo de 90 centímetros de largo

La empresa de paquetería sólo admite cajas cuya longitud máxima es de 55 centímetros de lado

Vamos a ayudar a Pedro y determinaremos si le es posible enviar el regalo o no

La empresa de paquetería le ofrece a Pedro enviar su regalo en una caja de 55 centímetros de lado, por lo tanto esa es una caja cúbica  

Si la medida máxima que la caja puede tener de lado es de 55 centímetros, la única manera que tiene Pedro para colocar el tubo en la caja cúbica es en diagonal

La pregunta es sí podrá hacerlo con las dimensiones que le ofrecen

Un cubo es un cuerpo geométrico Los cuerpos geométricos son figuras tridimensionales con anchura, altura y profundidad

El cubo es un poliedro regular compuesto por seis cuadrados iguales.

Siendo uno de los cinco sólidos platónicos.

 

Emplearemos el teorema de Pitágoras para este ejercicio dado que el tubo sólo puede introducirse en la caja en diagonal

El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos saber el valor del tercero.

Un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto      

En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.

El Teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"                                    

$\boxed {\bold { hipotenusa^{2} = cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = \ a^{2} \ + \ b^{2} }}$

Solución:

Hallando la diagonal de una cara del cubo

Sabiendo que la caja cúbica por ser un cubo tiene seis caras

Calcularemos la magnitud de la diagonal de una de sus caras cuadradas

Es decir calcularemos la dimensión que tiene la diagonal de uno de los lados cuadrados iguales o congruentes de los seis que tiene el cubo.

La diagonal de un cuadrado es un segmento que une dos vértices no consecutivos de éste.

Donde para las seis caras cuadradas que conforman el cubo la diagonal tendrá la misma dimensión en todas

Para facilitar la comprensión del problema tomaremos de las seis caras del cubo a la cara inferior como referente, es decir la cara cuadrada que hace a la base de la caja cúbica.

Donde

La medida de la diagonal de un cuadrado equivale a la longitud del lado multiplicado por la raíz

Esto se puede demostrar por el teorema de Pitágoras

Donde c que es la hipotenusa será la diagonal

$\boxed {\bold { d^{2} = \ a^{2} \ + \ a^{2} }}$

$\boxed {\bold { d^{2} = 2 \ . \ (a^{2} )\ }}$

$\boxed {\bold { d = \sqrt{ 2 \ . \ a^{2} } }}$

$\boxed {\bold { d = \sqrt{ 2 } \ . \sqrt{ a^{2} } }}$

$\boxed {\bold { d = \sqrt{ 2 } \ . \ a } }}$

$\boxed {\bold { d = a \sqrt{ 2 } } }}$

Reemplazamos el valor de a por la medida de lado de la caja cúbica

$\boxed {\bold { d = 50 \sqrt{ 2 } } }}$

La diagonal de la cara cuadrada del cubo de 55 cm de lado mide 50√2 cm

Explicaremos porque se ha hallado esta dimensión.

La diagonal de un cuadrado es un segmento que une dos vértices no consecutivos de éste.

Y esa diagonal que va desde un vértice de una de las caras cuadradas del cubo al vértice opuesto, junto con la altura de la caja conforma un triángulo rectángulo

En donde la diagonal hallada y la altura de la caja serían los catetos, y la hipotenusa de este triángulo rectángulo será la distancia desde un vértice de la base de la caja hasta el vértice opuesto de la parte superior de la caja

Ver el gráfico adjunto para mejor comprensión

Esa hipotenusa dentro de la caja cúbica representa la dimensión con que cuenta Pedro para poder colocar el tubo dentro de la caja

Si hallamos esa magnitud sabremos si puede colocar el tubo dentro de la caja dada o no

Hallando la diagonal de la base hasta la tapa de la caja

$\boxed {\bold { c^{2} = \ a^{2} \ + \ b^{2} }}$

Reemplazamos valores

$\boxed {\bold { c^{2} = \ 55^{2} \ + \ (55\sqrt{2}) ^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = \ 3025 \ + \ 55^{2} \ . \ (\sqrt{2})^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = \ 3025 \ + \ 3025 \ . \ 2 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = \ 3025 \ + \ 6050 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = \ 9075 }}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ c^{2} } = \sqrt{9075} }}$

$\boxed {\bold { c = \sqrt{9075} }}$

$\boxed {\bold { c \approx 95,26 \ cm }}$  

La diagonal de la caja cúbica de 55 cm de lado es de 95,26 cm. Luego el tubo se colocaría en diagonal y sobraría espacio

Pedro puede usar la caja cúbica de 55 cm de lado

Answer 2

El telescopio puede entrar en una caja cúbica colocado uniendo los dos vértices opuestos.  La caja tiene que ser cúbica de al menos 52cm de lado.

Explicación paso a paso:

Si se admiten cajas de hasta 55cm de lado se puede ver si el telescopio entra en dirección oblícua respecto de la caja.

Para ello vamos a suponer una caja cuadrada tal que su diagonal mida 90 centímetros, aplicando Pitágoras (ya que la diagonal parte al cuadrado en dos triángulos rectángulos) queda:

$90cm=\sqrt{L^2+L^2}=\sqrt{2L^2}\\\\90cm=\sqrt{2}L$

Ahora las mínimas dimensiones de la caja son:

$L=\frac{90cm}{\sqrt{2}}=63,6cm$

Todavía excede el tamaño máximo por lo que suponemos una caja cúbica tal que el telescopio quede uniendo los vértices más distantes entre sí. Aplicamos Pitágoras en 3 dimensiones:

$90cm=\sqrt{L^2+L^2+L^2}=\sqrt{3}L\\\\L=\frac{90cm}{\sqrt{3}}=52cm$

Lo cual cumple el tamaño máximo.