Respuestas
Respuesta:
En este sentido, la introducción como herramienta de la teoría de dualidad en álgebras de Gorenstein juega un papel fundamental. Este método da lugar a una estimación mucho más diferenciada de los grados de los polinomios que intervienen en divisiones modulares por intersecciones completas (permitiendo la distinción entre variables ``libres" y ``ligadas") y conduce a procesos cuya uniformidad acepta un tratamiento adecuado cuando los polinomios son dados por programas de evaluación (nos referiremos de nuevo a este punto cuando se traten los resultados informáticos).
Esta idea fue introducida en [9] y junto con las técnicas de [11], permitió una mejora algorítmica importante en el estudio de la resolubilidad de un sistema polinomial de ecuaciones en un cuerpo algebraicamente cerrado. Un análisis similar, aunque un tanto más fino desde el punto de vista matemático, expuesto en [29], condujo a una nueva demostración de las estimaciones conocidas para la cota superior D del Teorema de ceros y mejoró el caso en que los polinomios tex2html_wrap_inline284 tienen grados mayorados por 2 (en este caso se obtuvo tex2html_wrap_inline288 en lugar del tex2html_wrap_inline290 conocido).
Combinando adecuadamente los mencionados métodos de dualidad junto con consideraciones sobre ``programas de evaluación genéricos" provenientes de la informática teórica, fue posible dar una versión del Teorema de los ceros de Hilbert para polinomios con coeficientes enteros en el que grado y tamaño de los coeficientes se controlan satisfactoriamente (ver [22]):
Sean tex2html_wrap_inline292 polinomios de grados mayorados por tex2html_wrap_inline294 y cuyos coeficientes tienen alturas logarítmicas acotadas por una cantidad tex2html_wrap_inline296 sin ceros comunes en tex2html_wrap_inline298 . Entonces existe tex2html_wrap_inline300 no nulo y polinomios tex2html_wrap_inline302 de modo que tex2html_wrap_inline304 , con los grados y las alturas logarítmicas de los coeficientes de los polinomios tex2html_wrap_inline264 acotados respectivamente por tex2html_wrap_inline308 y tex2html_wrap_inline310 . Esta última estimación también mide la altura logarítmica de a.
Este resultado puede ser interpretado también en el contexto de la aproximación diofántica, más precisamente en relación a las estimaciones de Liouville de cotas inferiores para el valor absoluto de polinomios enteros evaluados en puntos algebraicos (ver [22]). El tema de la aproximación diofántica vuelve a aparecer en [13], ya que, entre otros resultados, alli se prueba una versión del teorema clásico de Liouville para n polinomios en n variables y se define una noción de altura más adecuada para problemas de eliminación que las ya conocidas.
También a partir del empleo de la teoría de trazas se ha logrado la obtención de un ``Teorema de los ceros efectivo" con cotas intrínsecas: sean tex2html_wrap_inline252 polinomios en tex2html_wrap_inline320 que generan el ideal trivial, entonces tomando combinaciónes lineales de los tex2html_wrap_inline284 que resulten sucesiones regulares y los grados de las variedades determinadas por estas, es posible obtener una definición de lo que llamamos el grado geométrico de la familia tex2html_wrap_inline252 (cf. [23]) y que se notará por tex2html_wrap_inline326 . (Como consecuencia de la desigualdad de Bezout se deduce que tex2html_wrap_inline326 es siempre menor que tex2html_wrap_inline330 , siendo tex2html_wrap_inline332 .) Con estas notaciones fue posible demostrar el teorema siguiente, que mejora en varios casos los resultados mencionados al comienzo (ver [14] y [23]):
Sean tex2html_wrap_inline252 polinomios de grados mayorados por d y sea tex2html_wrap_inline326 su grado geométrico. Entonces existen polinomios tex2html_wrap_inline340 de grados mayorados por tex2html_wrap_inline342 tales que tex2html_wrap_inline344 .
Una versión ligeramente mejorada que contiene además una nueva prueba combinatoria sobre el teorema de los ceros efectivo, basada en desigualdades sobre la función de Hilbert, fue demostrada en [31].
Todos los resultados mencionados, provienen de resultados más generales que corresponden a teoremas de división efectivos en el caso de ideales generados por intersecciones completas; más precisamente, si tex2html_wrap_inline250 es una sucesión regular y tex2html_wrap_inline348 , se desea estimar grados y coeficientes de alguna representación tex2html_wrap_inline350 . Hemos evitado presentar los resultados desde este punto de vista, en parte más general, solo por razones didácticas (ver los trabajos mencionados: [9, 22, 29, 14, 23, 31]).
A grandes rasgos esta es una síntesis de los resultados de índole matemática obtenidos dentro del grupo. Dado que la motivación proviene especialmente de la informática estos resultados están íntimamente relacionados con las mejoras algorítmicas que se describen en la sección siguiente.
Explicación paso a paso:
Respuesta:
a) 2 < 9
b) -1 < 2
c) -9 < 12
d) -1 < 1.3
Explicación paso a paso:
A) 2 < 9
B)-5 < 2
C) -9 < 12
D) -1 < 4/3