Question

muy buenas noches sera que me pueden ayudar a decir si es verdad la siguiente proposición y con justificación


I. senxII. e^x > x+1


gracias de antemano

Answer 1

Hola ..!! , veamos

Teorema del Valor Medio

RECOMENDACIONES:

• antes de definir este teorema debes de tener conocimiento sobre el capitulo de derivadas .

este teorema enuncia que si tenemos una función con las siguientes    característica

• Sea $f$ una función continua en un intervalo CERRADO por ejemplo que sea un intervalo [a,b]
• Sea $f$ una función derivable en un intervalo ABIERTO  por ejemplo que sea un intervalo <a,b>

Si cumple las condiciones  mencionadas entonces se podrá afirmar que

Existe un $C$ que pertenece al intervalo [a,b] de tal manera que

la derivada en ese punto sea de la siguiente manera

$f'(c)=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

¿Que nos quiere decir en si el teorema?

este teorema nos dice que en un intervalo que se encuentre dentro del dominio de una función se  condice  los extremos de la función es decir se tiene al menos un punto que se encuentra en la función de tal manera que la recta que pase por dicho punto sera equivalente a la recta que une a los puntos de extremos es decir  en este caso (a,f(a) ) y (b,f(b))

observación Importante

este teorema es generalización de un teorema anterior a este conocido como el Teorema de ROLLE

teniendo en cuenta lo mencionado :

Apartado I

definimos una función característica en la cual me permita afirmar o negar dicha información

sea

$f(k)=sen(k); \ k \ pertenece \ [0,x]$

donde : x ∈ don$f$

¿porque hago ello?

lo hago de tal manera que me permita aplicar el T.V.M (continuidad, derivabilidad , acotado)

¿porque el intervalo [0,x] ?

por el echo que solo tomare a los positivos hasta un "x" del dominio de la función osea supondré que son para todo x>0

ahora aplicando T.V.M

sea "x" el punto de tal manera que su derivada sea

$f'(x)=\cfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$

$f'(x)=\cfrac{sen(x)-sen(0)}{x}\\ \\ f'(x)=\cfrac{senx}{x}$

ahora si somos buen@s onservadore /as podemos apreciar que los valores de sen(x) fluctúa entre 0 y 1 y x>0 por lo que el cociente siempre se menor que 1 osea una fracción propia pero mayor que cero

por lo que 0<  f'(x) < 1

entonces

$0<\cfrac{sen(x)}{x}<1\\ \\ \boxed{ \boxed{ sen(x)<x }} \quad\checkmark$

Apartado II

$e^{x} >x+1$

veamos

del T.V.M

$h(t)=e^{t} , t\ pertenece \ [0,x]\\\\h'(x)=\cfrac{e^{x}-e^{0} }{x-0} \\ \\ h'(x)=\cfrac{e^{x}-1 }{x}>1\\ \\ e^{x}-1 >x\\ \\ \boxed{ \boxed{ e^{x}>x+1 }} \quad\checkmark$

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Un cordial saludo.