Question

Dado el polinomio P(x)=x3+5x2+9x+5:

1. Pruebe que (x+1) es un factor de P(x).

2. Utilice la división sintética para obtener la factorización completa de P(x) sobre los reales.
quien me ayuda con formulas?
doy 50 puntos

Answer 1

Es muy simple
1) si (x+1) es un factor del polinomio P(x) quiere decir que x=-1 es una raiz del polinomio, ya que si hacemos (x+1)=0 y se despeja la x, queda x=-1, es decir que P(-1)=0

Comprobemos
$P(-1)= (-1)^{3} +5 (-1)^{2} +9(-1) +5$
 =(-1)+5-9+5
 =10-10
 =0
De esta manera queda comprobado que (x+1) es factor del polinomio

2) Usando la división sintetica, se colocan los coeficientes del polinomio y dividimos con -1, ya que sabemos que es una raiz

1     5   9   5|
 0   -1  -4  -5| 
__________|_-1_
 1    4   5  0  |

Como al final nos da un cero, de nuevo se confirma que -1 es una raiz del polinomio y por lo tanto que (x+1) es factor del polinomio.

Ahora para hallar las otras dos raices, se toman los coeficientes resultantes de la división sintetica es decir, 1    4    5
Estos son los coeficientes del polinomio de grado inmediatamente menor, es decir del de grado 2

así que podemos reescribir el polinomio de la siguiente manera

$P(x)=( x^{2} +4x+5)(x+1)$

para terminar de factorizar solo queda factorizar el termino de la izquierda, pero resulta que este termino no es factorizable en los reales ya que al aplicar la formula cuadrática $x= \frac{-b+- \sqrt{ b^{2} -4ac} }{2a}$ dentro de la raíz cuadrada queda un numero negativo. Quiere decir que las otras dos raíces del polinomio son Complejas (del conjunto de los números complejos)

Por lo tanto el polinomio factorizado en los reales queda

$P(x)=( x^{2} +4x+5)(x+1)$

Y mis 50 puntos? :}

Answer 2

1) evaluas P(x) en x = -1 y el resultado debe ser cero, es decir:
P(-1) = (-1)³ + 5(-1)² + 9(-1) + 5 = -1 + 5 - 9 + 5 = 10 - 10 = 0