Question

1. Escribe la expresión para las longitudes de ondas permitidas con respecto a la longitud de la cuerda. 2. Escribe la expresión para las frecuencias de vibración permitidas con respecto a la velocidad y a la longitud de la cuerda. 3. Escribe la expresión para la velocidad de una onda en una cuerda con respecto a la tensión y a la densidad de masa.

Answer 1

Respuesta:

$1.\ \lambda=\frac{2L}{n}\\ 2.\ f_{n}=\frac{1}{\lambda} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \\ 3.\ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}$

Explicación:

1. La longitud de onda en función de la longitud de la cuerda depende de los modos de vibración de esta, en términos sencillos, un modo de vibrar corresponden a las "alternativas" que tiene la cuerda para moverse. Es en base a los modos de vibrar mezclados, que se producen notas armónicas en una guitarra, por ejemplo. Volviendo a tu problema, si la longitud de onda se define como la distancia entre dos crestas o dos valles de una onda, es sencillo deducir que esta distancia será el tiempo que demora en completar un ciclo multiplicado por su velocidad:

$\lambda=v\cdot T_{n}$

Si se trata de una cuerda de longitud L empotrada en sus extremos:

$\lambda=\frac{2L}{n}$

Su deducción si es más complicada pero deben entender que L es la longitud del medio de propagación y n serán los nodos o puntos estáticos que determinan los modos de vibrar.

2. La frecuencia de vibración se obtiene de la primera ecuación, si despejo el período obtengo:

$T_{n}=\frac{\lambda}{v}$

Como la frecuencia es la inversa del período entonces obtengo:

$f_{n}=\frac{v}{\lambda}$

Pero como la velocidad en la cuerda se define como:

$v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}$

Entonces, se reemplaza la velocidad y la longitud de onda ($\lambda$) en la ecuación de la frecuencia y se obtiene:

$f_{n}=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}$

Nota: $T_{n}$ es el período de vibración, $T$ es la tensión de la cuerda y $\mu$ es la densidad lineal de la cuerda.

3. La velocidad se obtiene a partir de la deducción de la ecuación diferencial parcial que gobierna la propagación de onda en un medio continuo, su explicación sería algo extensa, asi que simplemente la voy a deducir de estas dos expresiones que ya utilice antes:

$f_{n}=\frac{v}{\lambda}$

y

$f_{n}=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}$

Si despejo $v$ de la primera:

$v=\lambda\cdot\ f_{n}$

Si reemplazo lo que es $\lambda$ y $f_{n}$

$v=\frac{2L}{n} \cdot \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$

Por lo tanto:

$v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}$

Answer 2

1. Una onda estacionaria se puede considerar como la interferencia de dos movimientos ondulatorios armónicos de la misma amplitud y longitud de onda:

• una incidente, que se propaga de izquierda a derecha yi=A·sen(kx-w t)
• otra relejada, que se propaga de derecha a izquierda, yr=A·sen(kx+w t).

La onda estacionaria resultante es y =yi+yr=2A·sen(kx)·cos(w t).

ó también L = n· λn/2 . Siendo λn la longitud de onda del armónico n-ésimo, n número entero y L la longitud de la cuerda.

2. Las frecuencias se pueden calcular fácilmente; para hallar las frecuencias empleamos la relación λ =vP, o bien λ =v/f.

                                           fn=n2Lv

la cuerda tiene una unidad de longitud, las frecuencias de los distintos modos de vibración son por tanto, v/2, v, 3v/2, 2v, asi susecivamente; siendo v la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda.

3. Para las ondas en una cuerda la velocidad está determinada por v = (T/μ)1/2; donde T es la tensión de la cuerda en Newtons y μ es la masa por unidad de longitud en kilogramos por metro.

¿Que es la Longitud de Onda de una Cuerda?

Para una cuerda fija en sus extremos, aplicando las condiciones de frontera a la ecuación de ondas obtenemos que las longitudes de onda de los armónicos generados tienen que cumplir, la siguiente expresión; L = n· λn/2 , siendo λn la longitud de onda del armónico n-ésimo, n número entero y L la longitud de la cuerda.

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