demuestre que si una solución de la ecuación cuadrática x²+bx+c=0 es racional (donde b y c son racionales), la otra solución también lo es
Respuestas
Tenemos la ecuación cuadrática $$x^2 + bx + c = 0$$ Sus radicales son: $$(x-r)(x-s)=0$$donde $r$ es un racional de la forma $\frac{m}{n}$ con $n\neq 0$.
Consideramos también que $b$ y $c$ son racionales de la forma $b=\frac{x}{y},c=\frac{z}{w} $, con $w,y\neq 0$
Se debe satisfacer la siguiente igualdad a la hora de desarrollar $ \left( x-r \right) \left( x-s \right)$.
$$\left( x-r \right) \left( x-s \right) = x^2 + bx + c$$
$$x^2 - x\left( r + s \right) + sr=x^2+bx+c$$
Al igualar los factores de la ecuación, tenemos qué;
$$-x\left(r + s \right) = bx$$
$$ -\left( r + s \right) = b $$
Pero nosotros sabemos que $r$ y $b$ son racionales.
$$ s=b-r $$
$$ s=-\left( \frac{x}{y} + \frac{m}{n} \right) $$
De aquí inferimos qué, a partir de \textit{suma de racionales} nuestro resultado será otro racional, $s$ es un racional.\\
Por otro lado, si lo tomamos por parte de $c$ tenemos que.
$$ sr = c $$
$$ sr = c$$
$$ s = \frac{c}{r} $$
$$ s= \frac{\frac{z}{w}}{\frac{m}{n}} $$
$$ s= \frac{nz}{wm} $$
Lo anterior puede re escribirse cómo:
$$ s= \frac{n}{m}\times \frac{z}{w} $$
Una multiplicación de racionales da como producto otro racional, por lo cual no estamos contradiciendo el hecho de que $s$ es un racional. \hfill $\blacksquare$