Dadas las rectas r: 3x + 4y − 1 = 0 y s: 4x − 3y + 2 = 0, calcular:
a) El ángulo que forman.
b) Las ecuaciones de las bisectrices.
Respuestas
Respuesta: a) El ángulo entre las rectas es 90º
b) La ecuación de una de las bisectrices es y = 0, 1429x + 0, 4286.
La ecuación de la otra es y = -6, 9979x - 0, 9996
Explicación paso a paso:
a) La pendiente m1 de la recta r es:
m1 = -3/4
El ángulo ∅1 entre r y el eje de las x es:
∅1 = Arctan (-3/4) = -36,87º
La pendiente m2 de la recta s es:
m2 = 4/3
Y el ángulo ∅2 entre la recta s y el eje de las x es:
∅2 = Arctan (4/3) = 53, 13º
Entonces, el ángulo β entre las rectas r y s es:
β = 53, 13º + 36, 87º = 90º
* Ecuación de la una de las bisectrices.
El ángulo α entre la bisectriz buscada y el eje de las x es:
α = 53, 13º - 45º = 8, 13º
Por tanto, la pendiente m de la bisectriz es:
m = Tan (8, 13º) = 0,1429
Además, la bisectriz pasa por el punto de intersección de las rectas r y s.
Calculamos ese punto resolviendo simultánemente el sistema de las dos ecuaciones de las rectas:
3x + 4y = 1 ...........(1)
4x - 3y = -2 ..........(2)
Se multiplica la ecuación (1) por 4 y la (2) por -3. Luego se suman:
12x + 16y = 4
-12x + 9y = 6
...............................
25y = 10
y = 2/5
Se sustituye este valor de y en la ecuación (1):
3x + 4.(2/5) = 1
3x + 8/5 = 1
3x = 5/5 - 8/5
3x = -3/5
x = -1/5
El punto de intersección es P(-1/5, 2/5). Como la pendiente es m = 0, 1429, entonces la ecuación de una de las bisectrices es:
y - 2/5 = 0, 1429(x + 1/5)
y = 0, 1429x + 0, 0286 + (2/5)
y = 0, 1429x + 0, 4286
* La otra bisectriz es perpendicular a la anterior y también pasa por el punto de intersección de las dos recta.
Entonces, su pendiente m3 = -1 /0, 1429 = -6, 9979.
Su ecuación es y - 2/5 = -6, 9979 (x + 1/5)
y - 2/5 = -6, 9979x - 1, 3995
y = -6, 9979x - 1, 3995 + 2/5
y = -6, 9979x - 0, 9996