Respuestas
Respuesta:
La ecuación de la forma y=mx+b, es denominada ecuación explicita de la recta, en esta ecuación se toma la variable x como independiente, y la variable y se expresa en función de esta, es decir, para graficar una recta o obtener puntos que hagan parte de esta le asignamos un valor a x y hallamos el valor correspondiente en y. En esta ecuación m es la pendiente de la recta y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado termino independiente el cual gráficamente es el corte con el eje y.
En resumen la ecuación explicita de la recta está dada por:
En la determinación de la ecuación explicita de una recta se pueden presentar dos casos.
Caso 1
Cuando se conoce la pendiente y un punto de la recta
Cuando se conoce la pendiente y un punto de la recta basta reemplazar dichos valores en la ecuación punto-pendiente
Ecuación punto-pendiente
Conocida la pendiente y un punto de la recta. La ecuación de la recta se halla como
Ejemplo 1
Determinar la ecuación explicita de la recta que pasa por el punto A(-3,1) y cuya pendiente es m=3.
Solución
Dado que m=3 y (x1, y1) = (-3,1) al reemplazar los valores conocidos en la ecuación punto-pendiente
Para Finalizar Llevamos la ecuación anterior a la forma explícita de la recta y=mx+b
Ejemplo 2
Hallar la ecuación explicita de la recta que pasa por el punto A(4,-2) y cuya pendiente es m = -2. Realizar la gráfica.
Solución
Identificamos las variables conocidas
m=-2 y (x1, y1) = (4,-2), es decir x1=4 y y1=-2
Reemplazamos estos valores en la ecuación punto-pendiente
Finalmente llevamos la ecuación anterior a la forma explícita de la recta y=mx+b
Para recordar: Cuando tenemos una recta en la forma explícita se determinan dos variables automáticamente, la pendiente m y el corte con el eje y es decir la coordenada (0,b).
En la ecuación de la recta y = -2x+6, al compararla con la ecuación explicita de la recta y=mx+b identificamos que la pendiente de esta recta es m=-2, y que el corte con el eje y ocurre en la coordenada (0,b), es decir (0,6).
El punto (3,0) o punto de corte de la recta con el eje x, se determinó a partir de la ecuación de la recta y=-2x+6, haciendo y=0 y despejando x, es decir:
El resumen de los puntos que se graficaron se presentan en la siguiente tabla de valores
x 0 3
y 6 0
Caso 2
se conocen dos puntos que pertenecen a la recta.
Cuando se conocen dos puntos diferentes que pertenecen a la recta, primero se halla la pendiente de dicha recta mediante la expresion:
Luego se procede como en el caso 1, es decir se reemplaza m y las coordenadas de cualquiera de los puntos conocidos en la ecuación punto-pendiente
Ejemplo 3
Hallar la ecuación explicita de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(3,5) y graficarla.
1. Solución
1. Identificamos las coordenadas (x1, y1) = (1,2) y (x2, y2)= (3,5)
Es decir:
x1=1 , y1 = 2 y x2=3, y2=5
2. Calculamos la pendiente de la recta.
3. Reemplazamos la pendiente y uno de los puntos en la ecuación punto-pendiente
Con el punto A(1,2)
Lo anterior lo resumimos en la siguiente tabla de valores, para proceder a construir la gráfica.
Taller
1. indicar la pendiente y el intercepto con el eje y de cada una de las siguientes rectas
2. Encontrar la ecuación explicita de la recta que tiene el punto y la pendiente indicados.
a. Punto (1,4) pendiente 2 b. Punto (2,3) pendiente -3
c. Punto (5,3) pendiente 0 b. Punto (-1,2) pendiente -2
3. Escribir las coordenadas de dos puntos que pertenezcan a la gráfica de cada recta. Luego, encontrar la ecuación explicita de la recta
a.
b.
4. Escribir V en cada afirmación si es verdadera, o F si es falsa. Justificar la respuesta.
a. La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(6,-3) y B(-2,3) es y=x+2.
b. La ecuación de una recta cuya pendiente es indefinida es x=3.
c. La ecuación de la recta y=3x+2, tiene pendiente 3.
d. La ecuación de la recta y=3x+2, corta el eje y en -2.
e. La ecuación de la recta y=2x-5, corresponde a una recta con pendiente negativa.
Para reforzar el concepto de calculo de la ecuacion explicita de la recta los invito a ver los siguientes Videos.
CASO 1
En el video la ecuación principal es lo que nosotros conocemos como ecuación explicita de la recta
Vídeo de YouTube
CASO 2
a. Ecuación explicita de la recta a partir de dos puntos
Vídeo de YouTube
b. Ecuación de la recta a partir de dos puntos. En este video nos muestran como calcular la ecuación general de la recta la cual es de la forma Ax+By+C=0, siendo diferente a la ecuación explicita que tiene la forma y=mx+b. Para obtener la ecuación explicita a partir de la ecuación general basta con despejar y de esta.
Vídeo de YouTube
Problema de aplicación de la línea recta
Vídeo de YouTube
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