Question

un ingeniero desea construir una cisterna de forma cilíndrica al interior de una cavidad cónica, cuya base es el disco de centro o y cuyo radio mide 4 m. el radio del cilindro es om, donde el punto m se desplaza desde o hasta a si om = x y v es la función que a cada x asocia el volumen del cilindro, determine el dominio de v.

Answer 1

El dominio de la función volumen es [0,a].

Explicación:

Si la altura del cono es h y la altura del cilindro es 'i', podemos hacer un corte transversal del cono como el de la imagen adjunta donde tenemos el ángulo α, quedando:

$tan(\alpha)=\frac{h}{4}=\frac{i}{4-m}$

Y el volumen del cilindro es a su vez:

$V=\pi.m^2.i$

Podemos poner toda esta expresión en función del radio 'm' y queda.

$i=\frac{(4-m)h}{4}\\\\V=\pi.\frac{(4-m)m^2h}{4}$

En donde vemos que el dominio de m en teoría es igual al conjunto de todos los reales, pero para que la solución tenga sentido físico debe ser m<4 y a la vez debe ser m un valor positivo. Por ende el dominio de m es [0,4], o si el punto m puede tener como máximo un valor a<4, el dominio sería [0,a].