Respuestas
Respuesta:
Una partícula que vibra a lo largo de un segmento de 10 cm de longitud tiene en el
instante inicial su máxima velocidad que es de 20 cm/s. Determina las constantes del movimiento (amplitud, fase inicial, pulsación, frecuencia y periodo) y escribe las expresiones
de la elongación, velocidad y aceleración. Calcula la elongación, velocidad y aceleración
en el instante t = 1,75 π s. ¿Cu´al es la diferencia de fase entre este instante y el instante
inicial?
Explicación:
La amplitud es igual a la mitad del segmento recorrido: A = 5·10−2 m. Las expresiones
generales de la elongaci´on y de la velocidad son:
x = A · sin(ω · t + ϕ0); v =
dx
dt
= A · ω · cos(ω · t + ϕ0)
Como en el instante inicial la velocidad es m´axima, se tiene que la fase inicial es:
cos(ω · 0 + ϕ0) = 1 ⇒ ϕ0 = 0 rad
Del valor de la m´axima velocidad se deducen el resto de las constantes del movimiento.
vma´xima = A · ω = 0,20 m/s ⇒ ω =
vma´x
A
=
0,20
0,05
= 4 rad/s
ν =
ω
2π
=
4
2π
=
2
π
Hz; T =
1
ν
=
π
2
s
Las expresiones de la elongaci´on, velocidad y aceleraci´on y sus valores en el instante
indicado, t = 1,75 · π s, son:
x = A · sin(ω · t + ϕ0) = 0,05 · sin(4 · t) ⇒ xt = 0,05 · sin(4 · 1,75 · π) = 0 m
v =
dx
dt
= 0,2 · cos(4 · t) ⇒ vt = 0,2 · cos(4 · 1,75 · π) = −0,2 m/s
a =
dv
dt
= −0,8 · sin(4 · t) ⇒ at = −0,8 · sin(4 · 1,75 · π) = 0 m/s2
La diferencia de fase entre el instante inicial y el t = 1,75 · π s es:
∆ϕ = ϕt − ϕ0 = ω · 1,75 · π − 0 = 4 · 1,75 · π = 7 · π rad = (3 · 2 · π + π) rad
por lo que los dos instantes est´an en oposici´on de fase.