Question

Desde un punto A sale un cuerpo que se desplaza 20 km hasta el punto B, luego se desplaza 30 km de B hasta C, de tal manera que el vector resultante AC forma un ángulo de 18° con el vector inicial. Hallar la magnitud del vector resultante. Sugerencia: Aplique el teorema del seno

Answer 1

La magnitud del vector de posición resultante es de 48,38 kilómetros. Siendo su ángulo de dirección de 18°

Procedimiento:

El vector de posición que describe la trayectoria de A hasta B es a, luego el vector de posición que describe la trayectoria de B a C es b

$\boxed{\bold {AB = \vec {a}}}$

$\boxed{\bold {BC = \vec {b}}}$

Por lo tanto el vector resultante es c.

$\boxed{\bold {AC = \vec {r} = \vec{c} }}$

Donde se hallará su magnitud empleando la ley de senos por imposición del enunciado      

Si observamos la figura en el gráfico adjunto al ejercicio, el vector de color rojo es la suma vectorial de los vectores de color verde y azul. Los cuales son los vectores sumandos

Donde los vectores a y b dados junto con el vector resultante "cierran" un triángulo, el cual se resolverá analíticamente como un triángulo cualesquiera. Siendo esto llamado el método del triángulo.

Resolviendo el triángulo

Luego se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. En este caso se trata de un triángulo oblicuángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Las relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto  

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed {\bold { \frac{a}{ sen (\alpha) } =\frac{b}{sen (\beta) } = \frac {c} { sen (\gamma) } } }$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

En el ejercicio propuesto se conocen el valor de dos lados y de un ángulo  interno opuesto a uno de esos lados.  Esta es la razón por la cual se emplea el teorema del  seno, para en primer lugar determinar el valor del ángulo desconocido opuesto a uno de los lados del cual sí sabemos su dimensión.

Hallando el valor del ángulo α

$\boxed {\bold { \frac{a}{ sen (\alpha) } =\frac{b}{sen (\beta) } } }$

$\boxed {\bold { \frac{20 \ km }{ sen (\alpha) } =\frac{30 \ km }{sen (18)\° } } }$

$\boxed {\bold {sen (\alpha)= \frac{20 \ km \ .\ sen (18)\° }{30 \ km } } }$

$\boxed {\bold {sen (\alpha)= \frac{20 \ km \ .\ 0,3090169943749 }{30 \ km } } }$

$\boxed {\bold {sen (\alpha)= \frac{6,1803398874989 \ km }{30 \ km } } }$

$\boxed {\bold {sen (\alpha) = 0,2060113295832 } }$

$\boxed {\bold {\alpha = arcsen( 0,2060113295832 ) } }$

$\boxed {\bold {\alpha = 11,88870\° } }$

$\boxed {\bold {\alpha = 11,89\° } }$

El valor del ángulo α es de 11,89° (es el ángulo opuesto al lado AB = a)

Hallando el valor del ángulo γ

Conocemos ahora el valor de dos de los ángulos internos del triángulo

Vamos a hallar el valor del tercero

Como la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°, es decir a dos rectos

Planteamos

$\boxed{ \bold{ 180\° = 18\° \ + \ 11,89\° \ +\ \gamma}}$

$\boxed{ \bold{ \gamma = 180\° \ - 18\° \ - \ 11,89\° }}$

$\boxed{ \bold{ \gamma = 150,11\° }}$

El valor del ángulo γ es de 150,11° (es el ángulo opuesto al lado AC = c)

Sabiendo el valor de AB (a) y de BC (b) y debiendo hallar la magnitud de AC (c), como ahora conocemos el valor del ángulo opuesto a la dimensión a hallar se podría calcular esta mediante el teorema del coseno    

Estableciendo la siguiente relación

$\boxed{ \bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} \ - \ 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma)}}$

En esta clase de problemas se emplean los teoremas del seno, del coseno y si  triángulo hubiese sido rectángulo se utilizaría el teorema de Pitágoras

Si halláramos el valor de AC (c) por el teorema del coseno obtendríamos el mismo resultado. Concluyendo que no hay una única manera de resolver un triángulo, sino que esto está dado de acuerdo a los datos dados

Hallando la magnitud "c"

$\boxed {\bold {\frac{b}{sen (\beta) } = \frac {c} { sen (\gamma) } } }$

$\boxed {\bold { \frac{30 \ km }{ sen (18)\° } =\frac{c }{sen (150,11)\° } } }$

$\boxed {\bold { c= \frac{30 \ km \ . \ sen (150,11)\° }{ sen (18)\° } } }$

$\boxed {\bold { c= \frac{30 \ km \ . \ 0,4983364301367 }{0,3090169943749 } } }$

$\boxed {\bold { c= \frac{14,950092904102 \ km }{0,3090169943749 } } }$

$\boxed {\bold { c= 48,37951 \ km } }$

$\boxed {\bold { c= 48,38 \ km } }$

Concluyendo que la magnitud del vector de posición resultante es de 48,38 kilómetros. Siendo su ángulo de dirección de 18°

$\boxed{\bold {AC = \vec {r} = \vec{c} = 48,38 \ km }}$