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Respuesta:
Explicación paso a paso:
Operaciones basicas ´
Las cuatro operaciones basicas entre los n ´ umeros reales son la adici ´ on, sustracci ´ on, multipli- ´
cacion y divisi ´ on. Dados dos n ´ umeros ´ a y b, ellas se representan con las notaciones
a+b, a−b, a · b = a×b = ab y a÷b = a/b (si b 6= 0)
respectivamente.
Estas cuatro operaciones tienen las siguientes propiedades, para cualesquiera numeros ´ a, b y c:
• a+ (b+c) = (a+b) +c
• a+0 = 0+a = a
• a+ (−a) = 0
• a+b = b+a
• a(b+c) = ab+ac
• a ·(b · c) = (a · b)· c
• a · 1 = 1 · a = a
• a ·(1/a) = 1 si a 6= 0
• a · b = b · a
Ademas se cumplen las siguientes leyes de signos: ´
• −(−a) = a
• (a)(−b) = (−a)(b) = −(a · b)
• (−a)(−b) = a · b
• a+ (−b) = a−b
• (−a)÷b = a÷(−b) = −(a÷b)
• (−a)÷(−b) = a÷b
Cuando una expresion involucra varias de estas operaciones, ellas se interpretan en el siguiente ´
orden:
1. Primero se evaluan los par ´ entesis, si los hay. ´
2. En segundo lugar, multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha entre ellas.
3. En tercer lugar, adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha entre ellas.
1
2 Cap´ıtulo 1. Los numeros reales ´
Ejemplo 1
La expresion´ 1 − 3 × 5 no se evalua restando primero ´ 1 − 3 = −2: es erroneo decir ´
que 1−3×5 es igual a −2×5. Lo correcto es multiplicar primero y restar despues: ´
1−3×5 = 1−15 = −14.
En (1−3)×5, la primera operacion s ´ ´ı es 1−3, por estar entre parentesis: ´
(1−3)×5 = (−2)×5 = −10.
El valor de 2÷6×5 no es igual a 2÷30. La division y la multiplicaci ´ on se eval ´ uan ´
de izquierda a derecha:
2÷6×5 =
1
3
×5 =
5
3
.
Finalmente, en la expresion´ 2 ÷ (6 × 5) s´ı empezamos calculando el producto, dado
el parentesis: ´
2÷(6×5) = 2÷30 =
1
15
Evalue´
1. −3+8
2. 4+ (−3)
3. −6+
7
2
4. 5
3
+ (−4)
5. 11−(−2)
6. −9−4+6
7.
2
3
+2−
−3
5
8. 8
3
·
15
7
9. −3 ·
2
5
·
−9
8
10. 6+4
µ
−
1
3
¶
11. 1
6
−
3
2
·
−1
4
12. 3 ·
2
−5
+
−6
−7
·
1
9
13. 3
5
÷(−2)
14. 1
8
÷
2
7
15. 2
3
÷
−1
6
+4÷
1
3
16. µ
1+
−5
2
¶
÷
µ
3
2
−3
¶
17. 4÷2÷2
18. 4÷(2÷2)
19. ·
−3
4
−
3
2
÷(−2)
¸
÷7
20. 7÷
·
−3
2
÷(−2)−
3
4
¸
21. (1/2)÷(3/4)÷(3/2)
(1−1/3)÷(1−1/5)
1.2 Potencias y radicales
Elevar una base a un exponente entero y positivo significa multiplicar varios factores iguales a
la base, tantos como indica el exponente:
b
n = b · b···b (n factores)
Ejemplo 2
En la potencia 7
3
, la base es 7 y el exponente es 3. El resultado de la potencia es el
producto de tres factores iguales a 7: 7
3 = 7 · 7 · 7 = 343.
Ejemplo 3
El valor de (−3)
2
es 9 porque (−3)
2 = (−3)(−3) = +9.
Pero el valor de −3
2
es −9 porque −3
2 = −(3)(3) = −9.
En cambio, (−5)
3 y −5
3
son ambos iguales a −125:
(−5)
3 = (−5)(−5)(−5) = −125 y −5
3 = −(5)(5)(5) = −125
En general, (−x)
n = (x)
n
si n es par, pero (−x)
n = −(x
n
) si n es impar.
Un exponente negativo indica el rec´ıproco de la potencia con exponente positivo:
b
−n =
1
b
n
Si la base es una fraccion, lo anterior es equivalente a invertir la fracci ´ on y cambiar el signo del ´
exponente:
³a
b
´−n
=
µ
b
a
¶n
Ejemplo 4
Los resultados de elevar 12−3 y (5/4)
−2
son:
4 Cap´ıtulo 1. Los numeros reales ´
• 12−3 =
1
123
=
1
1728
•
µ
5
4
¶−2
=
µ
4
5
¶2
=
16
25
Un exponente de la forma 1/n, con n entero positivo, representa una ra´ız n-esima: ´
b
1/n =
√n
b
y un exponente de la forma m/n, con m y n enteros, n positivo, se refiere a la ra´ız n-esima elevada ´
a la m:
b
m/n =
√n
b
m
Si la base b es positiva, el exponente m podr´ıa estar dentro o fuera de la ra´ız indistintamente:
b
m/n =
√n
b
m
=
√n
b
m si b > 0
b
m/n = (√n
b)
m =
√n
b
m si b > 0
Ejemplo 5
El resultado de la potencia 641/3
es la ra´ız cubica de 64: ´
641/3 =
√3
64 = 4
El resultado de 257/2
es la ra´ız cuadrada de 25 elevada a la 7:
257/2 =
√
257
= 5
7 = 78125
Cuando una expresion involucra varias operaciones, estas se interpretan en el siguiente orden: ´
1. Primero se evaluan los par ´ entesis, si los hay, de dentro hacia fuera. ´
2. En segundo lugar, potencias y ra´ıces.
3. En tercer lugar, multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha entre ellas.
4. En cuarto lugar, adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha entre ellas.
1.2. Potencias y radicales 5
Ejemplo 6
La expresion´ 3 · 5
2 −4÷(1+6 · 3
−1
)· 3+2 se evalua en este orden: ´
3 · 5
2 −4÷(1+6 ·
1
3
)· 3+2 se empieza con el parentesis ´
3 · 5
2 −4÷(1+2)· 3+2 dentro del parentesis, primero el producto ´
3 · 5
2 −4÷3 · 3+2 listo el parentesis ´
3 · 5
2 −
4
3
· 3+2 de izquierda a derecha: primero la division. . . ´
3 · 5
2 −4+2 . . . y luego el segundo producto
3 · 25−4+2 primero la potencia
75−4+2 segundo el producto
71+2 de izquierda a derecha: primero la sustraccion. . . ´
73 y por ultimo la adici ´ on´
Ejemplo 7
El valor de la expresion´
µ 5 151/2