Question

la celebración de fiestas patrias se lanzan fuegos artificiales , los cuales explotan al alcanza su altura máxima, cuando han transcurrido t segundos desde el lanzamiento de cada proyectil, la altura, en metros, está dada por la función:

h (t)= -t2 +20t +50

¿Cuánto demoran los fuegos artificiales en alcanzar su altura máxima? ¿A qué altura explotan los fuegos artificiales? Grafique la función para visualizar la trayectoria del proyectil

Answer 1

Los fuegos artificiales demoran 10 segundos en alcanzar su altura máxima.  Al alcanzar la altura máxima que es de 150 metros los fuegos artificiales explotarán

Procedimiento:

Dada una función cuadrática se pide determinar en cuanto tiempo y a que altura explotan unos fuegos artificiales

Solución

Sea la función

$\boxed {\bold { h(t) = -t^{2} + 20t + 50}}$

Donde h es la altura que alcanza el proyectil

y

Donde t es el tiempo que demora  

El valor máximo de la función cuadrática ocurre en

$\boxed {\bold { x = -\frac{b}{2a} }}$

Determinando cuánto demoran los fuegos artificiales en alcanzar su altura máxima

$\boxed {\bold { f_{max} (t) = at^{2} + bt + c }}$  ocurre  en  $\boxed {\bold { t = -\frac{b}{2a} }}$

Hallaremos luego el valor de:

$\boxed {\bold { t = -\frac{b}{2a} }}$

Reemplazando los valores de a y b

$\boxed {\bold { t = -\frac{20}{2 (-1)} }}$

$\boxed {\bold { t = -( \ -1 \ . 10) }}$

$\boxed {\bold { t = 10 }}$

Luego t  = 10 segundos

Lo que significa que los fuegos artificiales demorarán 10 segundos en alcanzar su altura máxima

Determinado a que altura explotan los fuegos artificiales

Si h alcanza su valor máximo para t = 10

Luego sustituimos el valor de t en la expresión

$\boxed {\bold { h(t) = -t^{2} + 20t + 50}}$

$\boxed {\bold { h(10) = -(10)^{2} + 20(10) + 50}}$

$\boxed {\bold { h(10) = - \ 1 \ . \ 100 + 200 + 50}}$

$\boxed {\bold { h(10) = - 100 + 200 + 50}}$

$\boxed {\bold { h(10) = - 100 + 250}}$

$\boxed {\bold { h(10) = 150}}$

Luego la altura máxima alcanzada por los fuegos artificiales es de 150 metros. Y es a esa altura cuando explotarán

Concluyendo que los fuegos artificiales demoran 10 segundos en alcanzar su altura máxima, y al alcanzar la altura máxima que es de 150 metros estos explotarán

La función dada se encuentra graficada en el archivo adjunto