Question

Para hallar la distancia entre dos puntos A y B se escoge un tercer punto C a 30 m de A y 35 m de B. Si el ángulo C=40º, encuentra la distancia entre A y B

Answer 1

La distancia entre los puntos A y B es de aproximadamente 22,72 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno, también llamado ley del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

• El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

• El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones

$\boxed { \bold { a^{2} = \ b^{2} \ + \ c^{2} \ - \ 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha )}}}$

$\boxed { \bold { b^{2} = \ a^{2} \ + \ c^{2} \ - \ 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta )}}}$

$\boxed { \bold { c^{2} = \ a^{2} \ + \ b^{2} \ - \ 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma )}}}$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Solución:

Esta situación se puede representar en un imaginario triángulo ABC en donde

El lado AC  y el lado BC representan respectivamente las distancias medidas desde el punto C hasta los puntos A y B también respectivamente.  Donde el lado AB equivale a la distancia "x" entre A y B que desconocemos

Conocemos las distancias hasta el punto A y hasta el punto B ambas medidas desde el punto C y el valor del ángulo que ambas distancias conocidas forman entre sí - que resulta ser el ángulo opuesto al lado- que equivale a la distancia "x"  que nos piden hallar Luego empleamos el teorema del coseno para resolver el problema

Hallando la distancia entre A y B - (lado c)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed { \bold { c^{2} = \ a^{2} \ + \ b^{2} \ - \ 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma )}}}$

Reemplazamos valores

$\boxed { \bold { c^{2} = \ 35^{2} \ + \ 30^{2} \ - \ 2 \ . \ 35 \ . \ 30 \ . \ cos(80 )\° }}}$

$\boxed { \bold { c^{2} = \ 1125 \ + \ 900 \ - \ 2100 \ . \ cos(80 )\° }}}$

$\boxed { \bold { c^{2} = \ 2125 \ - \ 2100 \ . \ cos(80 )\° }}}$

$\boxed { \bold { c^{2} = \ 2125 \ - \ 2100 \ . \ 0,7660444431189 }}}$

$\boxed { \bold { c^{2} = \ 2125 \ - \ 1608,69 }}}$

$\boxed { \bold { c^{2} = \ 516,31 }}}$

$\boxed { \bold { \sqrt{ c^{2} }= \sqrt{ 516,31 } }}}$

$\boxed { \bold { c \ = \sqrt{ 516,31 } }}}$

$\boxed { \bold { c \ \approx 22,72245 \ metros }}}$

$\boxed { \bold { c \ \approx 22,72 \ metros }}}$

La distancia entre A y B es de ≅ 22,72 metros