Para hallar la distancia entre dos puntos A y B se escoge un tercer punto C a 30 m de A y 35 m de B. Si el ángulo C=40º, encuentra la distancia entre A y B
Respuestas
La distancia entre los puntos A y B es de aproximadamente 22,72 metros
Procedimiento:
Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.
Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno, también llamado ley del coseno
¿Qué es el Teorema del Coseno?
- El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.
- El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.
El teorema del coseno dice:
Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,
Entonces, se cumplen las relaciones
Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto
Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.
Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,
a² + b² = c²
Siendo a la hipotenusa del triángulo.
Solución:
Esta situación se puede representar en un imaginario triángulo ABC en donde
El lado AC y el lado BC representan respectivamente las distancias medidas desde el punto C hasta los puntos A y B también respectivamente. Donde el lado AB equivale a la distancia "x" entre A y B que desconocemos
Conocemos las distancias hasta el punto A y hasta el punto B ambas medidas desde el punto C y el valor del ángulo que ambas distancias conocidas forman entre sí - que resulta ser el ángulo opuesto al lado- que equivale a la distancia "x" que nos piden hallar Luego empleamos el teorema del coseno para resolver el problema
Hallando la distancia entre A y B - (lado c)
Por el teorema del coseno podemos expresar
Reemplazamos valores
La distancia entre A y B es de ≅ 22,72 metros
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