Question

Hola, necesito su ayuda para resolver el problema de este triángulo porfavor!​

Answer 1

La longitud de la calle "a" es de aproximadamente 826,84 metros

El enunciado dice lo siguiente:  

Una empresa especialista en terracería tiene un plano con los trazos para la construcción de tres calles que ayudarán a disminuir el tráfico vehicular. ¿Cuál será la longitud de la calle "a"?

Procedimiento

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. En este caso se trata de un triángulo acutángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como este emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

En nuestro imaginario triángulo acutángulo ABC este está conformado por el lado AC que representa la longitud de una calle de las tres que se desean construir  -de la cual sabemos su medida- los lados AB y BC equivalen respectivamente a  las otras dos calles que se desean construir, en donde por enunciado se nos pide hallar la longitud de la calle "a" que se ubica en nuestro triángulo sobre el lado BC

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación

$\boxed {\bold { \frac{a}{sen(\alpha) } = \frac{b}{sen(\beta) } = \frac{c}{sen (\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Hallando el valor del ángulo β

Sabemos dos de los valores de los ángulos del triángulo acutángulo.Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed { \bold { 180\° = 58\° + 45\° + \beta }}$

$\boxed { \bold { \beta= 180\° - 58\° - 45\° }}$

$\boxed { \bold { \beta= 77\° }}$

Hallando la longitud de la calle "a"

$\boxed {\bold { \frac{a}{sen(\alpha) } = \frac{b}{sen(\beta) } } }}$

$\boxed {\bold { \frac{a}{sen(58)\° } = \frac{b}{sen(77)\° } } }}$

$\boxed {\bold { \frac{a}{sen(58)\° } = \frac{950 \ metros}{sen(77)\° } } }}$

$\boxed {\bold { a = \frac{950 \ metros \ . \ sen(58)\°}{sen(77)\° } } }}$

$\boxed {\bold { a = \frac{950 \ metros \ . \ 0,8480480961564}{0,9743700647852 } } }}$

$\boxed {\bold { a = \frac{805,64569134860 \ metros }{0,9743700647852 } } }}$

$\boxed {\bold { a \approx826,83748 \ metros } }}$

$\boxed {\bold { a \approx826,84 \ metros } }}$

La longitud de la calle "a" es ≅ 826,84 metros

Aunque no está impuesto por el enunciado, si quisiéramos hallar la longitud de la calle "c"

Estableceríamos la siguiente relación

$\boxed {\bold { \frac{b}{sen(\beta) } = \frac{c}{sen (\gamma)} }}$

$\boxed {\bold { \frac{b}{sen(77)\° } = \frac{c}{sen (45)\°} }}$

$\boxed {\bold { \frac{950 \ metros}{sen(77)\° } = \frac{c}{sen (45)\°} }}$

$\boxed {\bold { c = \frac{950 \ metros \ . \ sen(45)\°}{sen(77)\° } } }}$

$\boxed {\bold { c \approx689,42126 \ metros } }}$

$\boxed {\bold { c \approx689,42 \ metros } }}$