Respuestas
Respuesta:
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida respectivamente por el mismo número.
Ejemplo:
-Un automóvil consume 3 galones de gasolina por 120 km de recorrido¿Cuantos kilómetros recorre con 20 galones?
Observamos que las magnitudes son directas Si la razón o cociente entre ellas es un valor constante. Con los datos de la tabla, hallamos la razón.
Elaboramos una tabla de proporcionalidad:
Gasolina (galones) 3 1 10 20 40
Recorrido (kilómetros) 120 40 400 800 1600
Con 20 galones de gasolina, el auto recorre 800 kilómetros: Mientras más kilómetros se recorran, más galones de gasolina se consumirán. El número de kilómetros recorridos es directamente proporcional (D.P) al número de galones de gasolina. Siempre que las demás condiciones se mantuvieran constantes. Significa, que no se modificaran las condiciones climáticas o geográficas que modificaran el consumo.
-Al llegar al hotel nos han dado un mapa con los lugares de interés de la ciudad, y nos dijeron que 5 centímetros del mapa representaban 600 metros de la realidad. Hoy queremos ir a un parque que se encuentra a 8 centímetros del hotel en el mapa. ¿A qué distancia del hotel se encuentra este parque?
Para resolver este problema, debemos pensar en primer lugar si cumple una proporcionalidad directa o inversa. Para ello, pensamos…
Si en lugar de 5 centímetros hablásemos del doble de centímetros en el mapa (10 centímetros), ¿en la realidad serían más metros o menos metros?
Serían más metros: justo el doble de metros en la realidad.
Si al duplicar una magnitud (centímetros) también se duplica la otra (metros) estamos hablando de una proporcionalidad directa.
Por lo tanto, vamos a resolver el problema:
Como 5 centímetros representan 600 metros, 1 centímetro representará…
600 : 5 = 120 metros
Como 1 centímetro representa 120 metros, 8 centímetros representarán…
120 x 8 = 960 metros
Solución: El parque se encuentra a 960 metros del hotel.
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Explicación paso a paso:
Proporcionalidad directa
Dadas dos variables X e Y, Y es (directamente) proporcional a X (X e Y varían directamente, o X e Y están en variación directa) si hay una constante distinta de cero tal que:
{\displaystyle y=kx.\,}{\displaystyle y=kx.\,}
La relación a menudo se denota
Para ilustrar, supongamos que si dividimos el peso de una muestra de hierro por su volumen, el resultado será el mismo que el obtenido al dividir el peso de cualquier otra muestra por su volumen, dicho cociente corresponde a la constante de proporcionalidad.3
Primer ejemplo
La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 g de mantequilla, cuatro huevos y 120 g de azúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios [cita requerida], la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por el número real de personas, cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde. Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 g de mantequilla y 150 g de azúcar).
Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas y se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad: coeficiente k no nulo ({\displaystyle 5 \over 4}{\displaystyle 5 \over 4} en el ejemplo) tal que
{\displaystyle y_{1}=k\cdot x_{1},y_{2}=k\cdot x_{2}\quad ...\quad y_{n}=k\cdot x_{n}\ }{\displaystyle y_{1}=k\cdot x_{1},y_{2}=k\cdot x_{2}\quad ...\quad y_{n}=k\cdot x_{n}\ }