Question

¿Cuál es el n-ésimo término de la progresión geométrica de 1/5, 3/10, 9/20, 27/40? ayúdenme pliss
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Answer 1

Respuesta:

n=3 (n-1)/2 (n-1)

Explicación paso a paso:

El enésimo terminó se obtiene al triplicar el término anterior en cuanto a su numerador y en duplicar su denominador. Por ejemplo, el siguiente término será:

81/80

Answer 2

El n-ésimo término de una progresión geométrica esta dado por:

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

Donde a₁ corresponde al primer termino de de la progresion y r es la razon por la cual se va amplificando el termino. A lo que iba, primero se puede deducir el termino n-ésimo para el numerador, sabemos que:

Numerador: 1, 3, 9, 27

Identificamos:

a₁ = 1

r = 3

Asi, el n-esimo termino para el numerador seria:

$a_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$

Verifiquemos, el cuarto termino nos deberia dar 27:

a₄ = 3⁴⁻¹ = 3³ =27

Se ve bien, verifiquemos ahora la progresion del denominador (5, 10, 20, 40):

a₁ = 5

r =  2

Por lo que el n-esimo termino seria:

$a_n = 5 \cdot 2^{n-1}$

Corroboremos como la otra vez, el cuarto termino nos deberia dar 40,

a₄ = $5 \cdot 2^{4-1} = 5 \cdot 8 = 40$

Listo, teniendo en cuenta ambas progresiones, el termino n-esimo que nos piden seria:

$a_n = \frac{3^{n-1}}{5 \cdot 2^{n-1}\\}$

Podemos simplificar un poco mas la expresion:

$a_n = \frac{3^{n-1}}{5 \cdot 2^{n-1}\\} = \frac{3^n \cdot 3^{-1}}{5 \cdot 2^n \cdot 2^{-1}} \\\\\boxed{a_n = \frac{2}{15} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^n}$

Ese seria el n-esimo termino, si te fijas tiene una constante multiplicado por una razon elevada a la potencia, puedes ir comprobando que este es el n-esimo termino, reemplazando n con 1,2,3,4..etc, y te deberia dar efectivamente 1/5, 3/10, 9/20, 27/40, etc, de hecho el siguiente termino es:

$a_5 = \frac{2}{15} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^5\\\\a_5 = \frac{81}{80}$

Saludos.