Respuestas
Respuesta:
∫cos⁷x dx = ( 16/35)
Se anexa respuesta
Explicación:
∫cos⁷x dx .... se reescribe el integral
∫cos⁷x dx = ∫cos⁶x. cosx dx
∫cos⁷x dx = ∫(cos²x)³. cosx dx aplicamos propiedad de potencia
se usa la identidad cos²x + sen²x = 1
despejando cos²x = 1 - sen²x sustituyendo en la integral
∫cos⁷x dx = ∫(1 - sen²x)³. cosx dx
usamos producto notable
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ donde a = 1 y b = sen²x
(1 - sen²x)³ = 1³ - 3×1²×sen²x + 3×1×(sen²x)² -( sen²x)³
(1 - sen²x)³ = 1 - 3sen²x + 3sen⁴x - sen⁶x sustituyendo en el integral
∫cos⁷x dx = ∫(1 - sen²x)³. cosx dx
∫cos⁷x dx = ∫(1 - 3sen²x + 3sen⁴x - sen⁶x).cosx dx
∫cos⁷x dx = ∫cosx.dx - 3∫sen²x.cosxdx + 3∫sen⁴x.cosxdx - ∫sen⁶x.cosx dx
Ahora se hace cambio de variable
u = senx
du = cosx.dx
el primer integral es directo ∫cosx.dx = senx
∫cos⁷x dx = senx - 3∫u².du + 3∫u⁴.du - ∫u⁶.du
resolviendo
∫cos⁷x dx = senx - 3u³ /3 + 3u⁵/5 - u⁷/7
devolviendo el cambio de variable u = senx
∫cos⁷x dx = senx - 3sen³x/3 + 3sen⁵x/5 - sen⁷x /7
∫cos⁷x dx = senx - sen³x + 3/5. sen⁵x - 1/7. sen⁷x
Ahora evaluamos para los valores
π/2 = 90° .... sen90° = 1
0 sen0° = 0
sustituyendo
∫cos⁷x dx = ( 1 - 1 + 3/5×1 - 1/7×1) - ( 0 - 1×0 + 3/5×0 - 1/7×0)
∫cos⁷x dx = ( 3/5 - 1/7) - ( 0 )
∫cos⁷x dx = ( 16/35)