Question

Demostrar la segunda propiedad fracciones irreducibles

Answer 1

La fracción irreducible o irreductible es aquella que no se puede simplificar más. Eso quiere decir que numerador y denominador no comparten factores.  Como es lógico tiene el mismo valor, pero con distintos números.

Propiedades de las fracciones irreducibles:

Propiedad 1: Toda fracción es equivalente a una fracción irreducible.

Demostración: 1/3 es equivalente a 3/9 y es su fracción irreducible:

$\boxed {\frac{3}{9}=\frac{1}{3} }$

Propiedad 2: Si una fracción es irreducible y su denominador es distinto de 1, el resultado de la división del numerador entre el numerador no es un número natural (tiene decimales).

Explicación:

$\boxed {\frac{x}{y}=a} \;\; \longrightarrow \;\; a\notin \; \mathbb{N} \;\; \forall \;\; y\neq 1$

Demostración: el resultado al dividir el numerador por el denominador en la fracción irreducible 1/2 es 0,5 que es un número decimal (no pertenece a los números naturales)

$\boxed {\frac{1}{2} = 0,5}$

Propiedad 3: Una fracción irreducible no es equivalente a ninguna fracción que tenga en el numerador y en el denominador números más pequeños.

Explicación:

$\boxed {\frac{x}{y} \;\; es \;\; irreducible }} \;\; si \;\ y \;\; solo \;\;si \;\; \boxed {\nexists \;\; \frac{a}{b} \;\;equivalente} \;\; tal \;\; que \;\; a< x \;\;y \;\; b< y$

Demostración:

1/2 no se puede reducir a otra fracción con números más pequeños que 1 y 2.

Para hallar la fracción irreducible:

Dada la fracción a/b, siendo a/b naturales, su fracción irreductible se calcula dividiendo el numerador y el denominador entre el máximo común divisor de a y b (mcd (a,b)).

Ejemplo: cálculo de la fracción irreductible de la fracción 15/30 La fracción 15/30 no es irreducible porque es equivalente a la fracción 5/15, que está formada por números más pequeños.

Se calcula el máximo común divisor del numerador y del denominador: mcd (15,30) = 15.

Se divide el numerador entre el mcd: 15/15 = 1.

Se divide el denominador entre el mcd: 30/15 = 2

La fracción irreductible de 15/30 es 1/2.