Question

a)- Una estatua está colocada sobre una columna de 12
de alto. Desde un punto del suelo situado en la misma
horizontal del pie de la columna, vemos su capitel con un
ángulo de 37°, y la parte superior de la estatua, con un
ángulo que tiene 8º más. ¿Cuál es la altura de la estatua?​

Answer 1

La altura de la estatua es de 4 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Los triángulos dados son notables.

Para el segundo ángulo

$\boxed {\bold { 37\° + 8\° = 45\° }}$

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben solo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

En estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Y k a la vez es una constante, que una vez conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad.

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en el resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Mencionaremos los que se relacionan con el ejercicio

• El llamado 37-53 (por sus ángulos) o 3-4-5 (por sus lados)

• Este triángulo tiene un ángulo de 37° y otro de 53°, donde el lado opuesto al ángulo de 37° medirá 3k, y el lado opuesto al ángulo de 53° medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k . En donde k es siempre una constante.

• El llamado 45°- 45° (por sus ángulos) o 1 - 1 (por sus lados)

• En este triángulo ambos ángulos miden 45°, por lo que los dos catetos medirán igual. Es decir 1k, mientras que la hipotenusa medirá √2k. Donde k es una constante.  

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Tenemos dos triángulos ABC y ACD

En ambos triángulos el lado AC equivale a la distancia del observador hasta el pie de la columna y es una incógnita "y", el lado AB que representa la altura de la columna, el lado BD que es la altura de la estatua y es una incógnita "x" observadas respectivamente con ángulos de elevación de 37° y 45°

Solución

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Distancia "y" – Distancia hasta el pie de la columna-

Relacionamos los datos con la tangente

Como tenemos un triángulo notable

$\boxed { \bold { tan( 37) \° = \frac{3}{4} }}$

$\boxed { \bold { tan (37)\° = \frac{ cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente} }}$

$\boxed { \bold { tan (37)\° = \frac{ altura \ columna }{ y } }}$

$\boxed { \bold {y = \frac{ altura \ columna }{ tan (37)\° } }}$

Si

$\boxed { \bold { tan( 37) \° = \frac{3}{4} }}$

$\boxed { \bold {y = \frac{ 12 \ metros }{ \frac{3}{4} } }}$

$\boxed { \bold {y = 12 \ metros \ . \ { \frac{4}{3} } }}$

$\boxed { \bold {y = 16 \ metros }}$

y = Distancia al pie de la columna  = 16 m

Distancia "x" – Altura de la estatua-

Relacionamos los datos con la tangente

Como tenemos un triángulo notable

$\boxed { \bold { tan( 45) \° = 1 }}$

$\boxed { \bold { tan (45)\° = \frac{ cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente} }}$

$\boxed { \bold { tan (45)\° = \frac{ altura \ columna \ y \ estatua }{ y } }}$

$\boxed { \bold { tan (45)\° = \frac{ 12 \ metros \ + \ x }{ 16 \ metros } }}$

Si

$\boxed { \bold { tan( 45) \° = 1 }}$

$\boxed { \bold { 1 = \frac{ 12 \ metros \ + \ x }{ 16 \ metros } }}$

$\boxed { \bold { 16 \ metros \ . \ 1 = 12 \ metros \ + \ x } }$

$\boxed { \bold { 16 \ metros = 12 \ metros \ + \ x } }$

$\boxed { \bold { x = 16 \ metros - 12 \ metros } }$

$\boxed { \bold { x = 4 \ metros } }$

x =  Altura de la estatua  = 4 m      

Método 2

Hallando el valor de la constante k

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y ángulos.

Para saber como hallar proporciones entre los lados y ángulos en triángulos notables se deja la explicación en un archivo adjunto.