Question

Ayuda, por favor. Tema: Relaciones de equivalencia. Necesito la demostración.

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

(a,b) R (c,d) ⇔ a + d= b + c       Donde: R esta en N²

Recordemos que una relación es de equivalencia si cumple que:

• Es una relación reflexiva

• Es una relación transitiva

• Es una relación simétrica

Vamos con las pruebas

1)  R es reflexiva ⇔ (a,b)R(a,b) ∀ (a,b) ∈ N²

Como a + b= b + a, entonces hemos concluido que:

(a,b)R(a,b) ∀ (a,b) ∈ N²

Si cumple que es reflexiva

2) R es simétrica⇔ (a,b)R(c,d) ⇒ (c,d)R(a,b)

Si (a,b)R(c,d) es lo mismo que decir   a+d= b+ c

Si escribimos:

c + b= d + a  Entonces se cumple que:

(c,d)R(a,b)

Si cumple que es simétrica  

3) R es transitiva ⇔ [(a,b)R(c,d) ∧ (c,d)R(e,f) ⇒ (a,b)R(e,f)

(a,b)R(e,f) quiere decir que:    a + f= b + e

Demostración:

Partiendo de:

a + d= b + c

Si sumamos "e" en ambos miembros (Propiedad uniforme)

a + d + e= b + c + e

Ahora usamos en el primer miembro la propiedad asociativa

a + (d + e) = b + c + e

Por hipótesis tenemos que:

d + e = c + f

Reemplazando:

a + c + f= b + c + e

Cancelando "c"

a +f = b + e          Demostrado

Cumplen los 3, por lo tanto "R" es una relación de equivalencia

Saludoss

Answer 2

miga

Explicación paso a paso:

Dónde R está en N espero que te ayude a