Respuestas
Respuesta:
Los tres primeros enteros positivos que se producen por la expresión 4x + 9 tal que éstos son múltiplos de 11, son: 33 (x = 6), 77 (x = 17) y 121 (x = 28)
Explicación paso a paso:
Usaremos aritmética modular:
Si 4x + 9 = múltiplo de 11, entonces:
4x + 9 ≡ 0 (módulo 11)
4x ≡ -9 (módulo 11)
4x ≡ 2 (módulo 11)
Ahora la pregunta se reduce a lo siguiente:
Encuentra x tal que 4x ≡ 2 (módulo 11)
Observaremos unos ejemplos probando con números en la x:
(x = 1)
4 · 1 ≡ 4 (módulo 11)
(x = 2)
4 · 2 ≡ 8 (módulo 11)
(x = 3)
4 · 3 ≡ 12 (módulo 11) ≡ 1 (módulo 11)
(x = 4)
4 · 4 ≡ 16 (módulo 11) ≡ 5 (módulo 11)
(x = 5)
4 · 5 ≡ 20 (módulo 11) ≡ 9 (módulo 11)
(x = 6)
4 · 6 ≡ 24 (módulo 11) ≡ 2 (módulo 11)
(con x = 6 obtenemos la primera solución)
...
Si siguiéramos probando, llegaríamos a la conclusión de que todo x que se puede expresar como 11k - 5 (donde k es un número natural), satisface la expresión: 4x ≡ 2 (módulo 11)
Por tanto las 3 primeras x que satisfacen la ecuación:
4x + 9 = múltiplo de 11
son:
(k = 1)
11k - 5 = 6 = x (1)
(k = 2)
11k - 5 = 17 = x (2)
(k = 3)
11k - 5 = 28 = x (3)
Por tanto, los tres primeros enteros positivos que se producen son:
x (1) => (x = 6)
4x + 9 = 33
x (2) => (x = 17)
4x + 9 = 77
x (3) => (x = 28)
4x + 9 = 121