Question

Desd ela parte mal alta del poste se observa a dos piedras A y B en el suelo con un angulo de depresion de 53° y 37° respectivamente. Si el poste tiene una logitud de 12m hallar las distancias entre A y B.

Answer 1

La distancia entre las dos piedras es de 7 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

El triángulo dado es un triángulo notable.

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben solo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

En estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Y k a la vez es una constante, que una vez conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad.

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en el resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto,

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 37-53 (por sus ángulos) o 3-4-5 (por sus lados)

• Este triángulo tiene un ángulo de 37° y otro de 53°, donde el lado opuesto al ángulo de 37° medirá 3k, y el lado opuesto al ángulo de 53° medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k . En donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto.

Tenemos dos triángulos ACD y BCD

En ambos triángulos el lado CD equivale a la altura del poste, el lado CA representa la distancia vertical desde la parte más alta del poste hasta la piedra más cercana y es una incógnita llamada "y", el lado CB que representa la distancia vertical desde la parte más alta del poste hasta la piedra más lejana y es una incógnita llamada "x" y los lados BD y AD que son proyecciones visuales bajo ángulos de depresión de 53° y 37°  

Halladas x e y se determinará la distancia entre las dos piedras

Solución

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Distancia "y"

Relacionamos los datos con la tangente

Como tenemos un triángulo notable

$\boxed {\bold { tan (53)\° = \frac{4}{3} }}$

$\boxed {\bold { tan (53)\° = \frac{cateto \ opuesto } { cateto \ adyacente } }}$

$\boxed {\bold { tan (53)\° = \frac{altura \ del \ poste } { distancia \ y } }}$

$\boxed {\bold { distancia \ y = \frac{altura \ del \ poste } { tan (53)\° } }}$

$\boxed {\bold { distancia \ y = \frac{12 \ metros } { tan (53)\° } }}$

Si

$\boxed {\bold { tan (53)\° = \frac{4}{3} }}$

$\boxed {\bold { distancia \ y = \frac{12 \ metros } { \frac{4}{3} } }}$

$\boxed {\bold { distancia \ y = 12 \ metros \ . \ \frac{3}{4} }}$

$\boxed {\bold { distancia \ y = 9 \ metros }}$

La distancia y es de 9 m

Distancia "x"

Relacionamos los datos con la tangente

Como tenemos un triángulo notable

$\boxed {\bold { tan (37)\° = \frac{3}{4} }}$

$\boxed {\bold { tan (37)\° = \frac{cateto \ opuesto } { cateto \ adyacente } }}$

$\boxed {\bold { tan (37)\° = \frac{altura \ del \ poste } { distancia \ x } }}$

$\boxed {\bold { distancia \ x = \frac{altura \ del \ poste } { tan (37)\° } }}$

$\boxed {\bold { distancia \ x = \frac{12 \ metros } { tan (37)\° } }}$

Si

$\boxed {\bold { tan (37)\° = \frac{3}{4} }}$

$\boxed {\bold { distancia \ x = \frac{12 \ metros } { \frac{3}{4} } }}$

$\boxed {\bold { distancia \ x = 12 \ metros \ . \ \frac{4}{3} }}$

$\boxed {\bold { distancia \ x = 16 \ metros }}$

La distancia x es de 16 m

Distancia entre A y B

Para hallar la distancia de separación entre ambas piedras restamos las dos incógnitas halladas "x" e "y "

$\boxed { \bold { Distancia \ entre \ A \ y \ B = \ Distancia \ x - \ Distancia \ y }}$

$\boxed { \bold { Distancia \ entre \ A \ y \ B = \ 16 \ metros - \ 9 \ metros }}$

$\boxed { \bold { Distancia \ entre \ A \ y \ B = \ 7 \ metros }}$

La distancia entre A y B es de 7 m

Método 2

Hallando el valor de la constante k

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y ángulos.

Aunque se trate del mismo triángulo notable de 37°-53°, al haber dos triángulos las relaciones entre lados y ángulos se invierten en ambos catetos. Ya que para una piedra se tiene un ángulo de depresión de 37° y para la otra piedra uno de 53°

Para saber como hallar proporciones entre los lados y ángulos en triángulos notables se deja la explicación en un archivo adjunto