Question

Julio desea realizar un experimento de distancias. Para ello se sitúa en el punto "P" que está a 10√3 m al frente de su casa. Coloca una cuerda desde "P" hacia la parte más alta de su casa y la tensa firmemente. Julio se da cuenta que la cuerda forma un ángulo de 30° con el piso. Calcular:

Answer 1

La casa tiene una altura de 10 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

Es decir en estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que una vez conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad.  

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en el resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 30-60 por sus ángulos

• Este triángulo tiene un ángulo de 30° y otro de 60°, donde el lado opuesto al ángulo de 30° medirá 1k y el lado opuesto al ángulo de 60° medirá k√3 y la hipotenusa medirá 2k (o el doble de lo que mida el primer lado) .En donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.

Tenemos un imaginario triángulo rectángulo PQR el cual está conformado por el lado QR que equivale a la altura de la casa, el lado PR que representa la distancia desde el punto P hasta la casa y es al mismo tiempo la línea de suelo o plano horizontal y el lado PQ que es la cuerda firmemente tensada desde el punto P hasta la parte más alta de la casa la cual conforma un ángulo de 30° con el suelo

Solución

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos la distancia desde el punto P hasta el frente de la casa y de un ángulo de elevación de 30° que conforma la cuerda desde P -situado en el piso- hasta la parte más alta de la casa

• Distancia del punto P hasta la casa = 10√3 metros

• Ángulo de elevación = 30° (ángulo notable)

• Debemos hallar la altura de la casa

Vamos a relacionar estos datos con la tangente del ángulo notable

Recordando que como tenemos un triángulo notable

$\boxed{ \bold { tan (30)\° = \frac{\sqrt{3} }{3} }}$

Planteamos

$\boxed{ \bold { tan (30)\° = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } = \frac{ QR }{PR} }}$

$\boxed{ \bold { tan (30)\° = \frac{altura \ de \ la \ casa }{ distancia\ a \ la \ casa } = \frac{ QR }{PR} }}$

$\boxed{ \bold { altura \ de \ la \ casa \ (QR) = distancia\ a \ la \ casa\ . \ tan (30)\° }}$

Sí

$\boxed{ \bold { tan (30)\° = \frac{\sqrt{3} }{3} }}$

$\boxed{ \bold { altura \ de \ la \ casa \ (QR) = 10\sqrt{3} \ . \ \frac{\sqrt{3} }{3} }}$

$\boxed{ \bold { altura \ de \ la \ casa \ (QR) = \ \frac{ 10 \ . \ (\sqrt{3} \sqrt{3}) }{3} }}$

$\boxed{ \bold { altura \ de \ la \ casa \ (QR) = \ \frac{ 10 \ . \ (\sqrt{3})^{2} }{3} }}$

$\boxed{ \bold { altura \ de \ la \ casa \ (QR) = \ \frac{ 10 \ . \ 3 }{3} }}$

$\boxed{ \bold { altura \ de \ la \ casa \ (QR) = 10 \ metros }}$

La altura de la casa es de 10 metros

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La distancia hasta la casa desde P es de 10√3 metros

Y resulta ser el cateto adyacente del ángulo notable de 30°

Por lo tanto al ser el cateto adyacente del ángulo notable de 30° medirá k√3

Planteamos

$\boxed { \bold { distancia \ hasta\ la \ casa = 10\sqrt{3} \ metros = \sqrt{3} k}}$

Donde despejaremos a la constante k

$\boxed { \bold { \sqrt{3} k = 10\sqrt{3}}}$

$\boxed { \bold { k = \frac{ 10\sqrt{3} }{\sqrt{3} } }}$

$\boxed { \bold { k = 10} }}$

El valor de la constante k es de 10

Al ser este un triángulo notable  30°- 60° el cateto opuesto al ángulo notable de 30° mide 1k. Y es el cateto opuesto al ángulo de 30° el que equivale a la altura de la casa.

Planteamos

$\boxed{ \bold { altura \ de \ la \ casa \ (QR) = 1k }}$

Reemplazamos el valor de la constante k

$\boxed{ \bold { altura \ de \ la \ casa \ (QR) = 1 \ . \ 10 }}$

$\boxed{ \bold { altura \ de \ la \ casa \ (QR) = 1 0\ metros }}$

La altura de la casa es de 10 metros