un disco que tiene 100 kg m al cuadrado de momento de inercia es libre de dar vuelta sin friccion,partiedo del reposo ,entonrno a un eje fijo a atraves de su centro .una fuerza tangencial cuya magnitud puede variar de f=0 a f=50N se aplica cualquier distancia que varie de R=0 a R=3m del eje de rotacion. a)encuentre un par de valores de F Y R que hagan que el disco complete 2 revoluciones en 10 segundos b)¿es su respuesta del inciso (a) una unica respuesta?¿cuantas respuestas existe?
Respuestas
Respuesta:
La inercia rotacional se denota con el símbolo III. Para un solo cuerpo como el de una pelota de tenis de masa mmm que gira en un radio rrr desde el eje de rotación (ver la Figura 1), la inercia rotacional es
I = mr^2I=mr
2
I, equals, m, r, squared
y, en consecuencia, la inercia rotacional en el SI tiene unidades de \mathrm{kg\cdot m ^ 2}kg⋅m
2
k, g, dot, m, squared.
A la inercia rotacional comúnmente se le conoce como el momento de inercia. También a veces se le llama el segundo momento de la masa; aquí 'segundo' se refiere al hecho de que depende de la longitud del brazo del momento al cuadrado.
Figura 2: una masa que rota debido a una fuerza tangencial
Ahora comenzamos a rotar el sistema al aplicar una fuerza tangencial F_TF
T
F, start subscript, T, end subscript a la masa. De la segunda ley de Newton,
F_T = m a_TF
T
=ma
T
F, start subscript, T, end subscript, equals, m, a, start subscript, T, end subscript.
Esto también se puede escribir como
F_T = m (r \alpha)F
T
=m(rα)F, start subscript, T, end subscript, equals, m, left parenthesis, r, alpha, right parenthesis.
La segunda ley de Newton relaciona la fuerza con la aceleración. En la mecánica rotacional \tauτtau toma el lugar de la fuerza. Al multiplicar ambos lados por el radio obtenemos la expresión deseada.
\begin{aligned} F_T r &= m (r \alpha) r\\ \tau &= m r^2 \alpha \\ \tau &= I \alpha\end{aligned}
F
T
r
τ
τ
=m(rα)r
=mr
2
α
=Iα
Ejercicio 1a:
Un motor capaz de producir una torca constante de 100~\mathrm{Nm}100 Nm100, space, N, m y una velocidad de rotación máxima de 100~\mathrm{Nm}100 Nm100, space, N, m se conecta a un volante con inercia rotacional de 0{,}1~\mathrm{kg m^2}0,1 kgm
2
0, comma, 1, space, k, g, m, squared. ¿Qué aceleración angular experimentará el volante cuando se enciende el motor? [Solución]
Ejercicio 1b:
¿En cuánto tiempo el volante tendrá una velocidad constante si parte del reposo? [Solución]
¿Cómo podemos calcular la inercia rotacional en general?
Los sistemas mecánicos a menudo están hechos de muchas masas interconectadas, o formas complejas.
Es posible calcular la inercia rotacional total de cualquier forma sobre cualquier eje mediante la suma de la inercia rotacional de cada masa.
\begin{aligned} I &= m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \ldots \\ &= \Sigma m_i r_i^2 \end{aligned}
I
=m
1
r
1
2
+m
2
r
2
2
+…
=Σm
i
r
i
2
Figura 3: un sistema de masas rígido mostrado con dos ejes de rotación diferentes
Ejercicio 2a:
Considera el objeto que se muestra en la Figura 3. ¿Cuál es su inercia rotacional? [Solución]
Ejercicio 2b:
Considera el caso alternativo de la Figura 3(b) del mismo sistema giratorio sobre un eje diferente. ¿Cuál esperarías que fuera la inercia rotacional en este caso? [Solución]
¿Cómo podemos encontrar la inercia rotacional de formas compleja.
Por ejemplo, la inercia rotacional de un cilindro sólido con radio rrr que gira al rededor de un eje central es:
I = \frac{1}{2}m r^2I=
2
1
mr
2
I, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, r, squared
y para un cilindro hueco de radios interior y exterior r_ir
i
r, start subscript, i, end subscript y r_or
o
r, start subscript, o, end subscript, respectivamente,
I = \frac{m(r_i^2 + r_o^2)}{2}I=
2
m(r
i
2
+r
o
2
)
I, equals, start fraction, m, left parenthesis, r, start subscript, i, end subscript, squared, plus, r, start subscript, o, end subscript, squared, right parenthesis, divided by, 2, end fraction
Expresiones para otras figuras simples se muestran en la Figura 4.
Figura 4: las ecuaciones para la inercia rotacional de algunas formas simples bajo rotación
A menudo, las formas complejas se pueden representar como combinaciones de formas simples para las cuales existe una ecuación conocida para la inercia rotacional. Entonces podemos combinar estas inercias rotacionales para encontrar la del objeto compuesto. [Pista]
El problema con el que posiblemente nos encontremos cuando combinemos formas simples es que las ecuaciones nos dan la inercia rotacional en el centroide de la forma y esto no necesariamente corresponde al eje de rotación de la forma compuesta. Podemos tomar esto en cuenta al usar el teorema de los ejes paralelos.
El teorema de los ejes paralelos nos permite encontrar el momento de inercia de un objeto sobre un punto ooo siempre que conozcamos el momento de inercia de la forma alrededor de su centroide ccc, la masa mmm y la distancia ddd entre los puntos ooo y ccc.
\boxed{I_o = I_c + md^2}
I
o
=I
c
+md
2
start box, I, start subscript, o, end subscript, equals, I, start subscript, c, end subscript, plus, m, d, squared, end box
Ejercicio 3:
Supón que la forma que se muestra en la Figura 5 se hace al soldar tres discos de metal de 10~\mathrm{mm}10 mm10, space, m, m de grosor (cada uno con una masa 50~\mathrm{kg}50 kg50, space, k, g) a un anillo de metal con masa de 100~\mathrm{kg}100 kg100, space, k, g. Si gira alrededor de un eje central (hacia afuera de la página), ¿cuál es el momento de inercia del objeto? [Solución]