Question

¿como se halla la ecuación de la circunferencia conocidos tres puntos?


- procedimiento paso a paso por favor

Answer 1

Pongamos que los 3 puntos sean: $P_1=(x_1,y_1), P_2=(x_2,y_2), P_3=(x_3,y_3)$

Ahora traslademos al punto $P_1$ al origen de coordenadas conjuntamente con los demás puntos, y tendremos

             $P'_1=(0,0)\\\\ P_2'=(x_2',y_2')=(x_2-x_1,y_2-y_1)\\\\ P_3'=(x_3',y_3')=(x_3-x_1,y_3-y_1)$

Como se sabe, la ecuación de una circunferencia que pasa por (h,k) y tenga radio R es de la forma:
                                      $(x-h)^2+(y-k)^2=R^2$

Según los puntos trasladados tenemos
$h^2+k^2=R^2\\ \\ (x_2'-h)^2+(y_2'-k)^2=R^2\to x_2'^2+y_2'^2=2(x_2'h+y_2'k)\\ \\ (x_3'-h)^2+(y_3'-k)^2=R^2\to x_3'^2+y_3'^2=2(x_3'h+y_3'k)$

Nuestro objetivo es hallar h y k de estas ecuaciones

$\begin{cases} x_2'^2+y_2'^2=2(x_2'h+y_2'k)\\ x_3'^2+y_3'^2=2(x_3'h+y_3'k) \end{cases}$

Ordenamos
$\begin{cases} x_2'h+y_2'k=\dfrac{1}{2}x_2'^2+\dfrac{1}{2}y_2'^2\\ \\ x_3'h+y_3'k=\dfrac{1}{2}x_3'^2+\dfrac{1}{2}y_3'^2 \end{cases}$

Por el método de Cramer se tiene

$h=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\left|\begin{matrix}x_2'^2+y_2'^2&y_2'\\ x_3'^2+y_3'^2&y_3'\end{matrix}\right|}{\left|\begin{matrix}x_2'&y_2'\\ x_3'&y_3'\end{matrix}\right|}\\ \\ \\ k=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\left|\begin{matrix}x_2'&x_2'^2+y_2'^2\\ y_2'&x_3'^2+y_3'^2\end{matrix}\right|}{\left|\begin{matrix}x_2'&y_2'\\ x_3'&y_3'\end{matrix}\right|}$

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Luego para devolver al triángulo a su posición inicial, sumamos a h y k $x_11$ y $y_1$ respectivamente:

Centro $(x_0,y_0)$

$\boxed{x_0=\dfrac{ \left|\begin{matrix} 1&1&1\\ x_1^2&x_2^2&x_3^2\\y_1&y_2&y_3 \end{matrix}\right|+\dfrac{1}{3}\left|\begin{matrix} 1&1&1\\ y_2-y_3&y_1-y_3&y_1-y_2\\y_1&y_2&y_3 \end{matrix}\right| }{2\left|\begin{matrix} 1&1&1\\ x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3 \end{matrix}\right|} }$

$\boxed{y_0=\dfrac{ \left|\begin{matrix} 1&1&1\\ y_1^2&y_2^2&y_3^2\\x_1&x_2&x_3 \end{matrix}\right|+\dfrac{1}{3}\left|\begin{matrix} 1&1&1\\ x_2-x_3&x_1-x_3&x_1-x_2\\x_1&x_2&x_3 \end{matrix}\right| }{2\left|\begin{matrix} 1&1&1\\ x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3 \end{matrix}\right|} }$

El radio es $h^2+k^2=R^2$, es decir

$R^2=\dfrac{[(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2][(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2][(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2]}{4\left|\begin{matrix}1&1&1\\ x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3<span>\end{matrix}\right|^2}$