Maximos y minimos: A un impresor le dan instrucciones para obtener 300 centímetros cuadrados de impresión por página. Los márgenes superiores e inferiores deben de tener 1.5 centímetros y 2 centímetros en cada lado de la página. ¿Cuáles serán las dimensiones de la página si quiere utilizar una mínima cantidad de papel?
ayuda :(

Respuestas

Respuesta dada por: dRodrigo
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Respuesta:

Al parecer eres la misma persona; te vuelvo a responder lo mismo.

Explicación:

Creo que puede ser así:

Sucede que tenemos que diferenciar entre el área total de la página y el área de impresión efectiva de la página, entonces:

Área de la página = A.h

Área de impresión efectiva de la página = Área de la página - Área total de los márgenes

Para el área de los márgenes necesitamos el área de los costados y superior e inferior. El área de los lados es igual al margen de lado (2 cm.) por la altura. Como son dos, se multiplica por dos:

Área de márgenes en lados = 2(2.h) = 4.h

Para el área de lados superior e inferior hacemos lo mismo con los datos, pero no tomamos la altura de la página, sino el ancho:

Área de márgenes superior e inferior = 2(1,5.A) = 3.A

Si sumamos estas última área vamos a repetir las esquinas 1 vez cada una. Entonces, tenemos que restar 4 veces el área de una esquina.

Área de esquinas repetidas = 4(2.1,5) = 12

Ahora sabemos el área de impresión efectiva:

Área de impresión = A.h - (4.h + 3.A - 12)

Tenemos que hallar las dimensiones A y h, pero tenemos una restricción respecto al área de impresión, tiene que ser de 300. Entonces, tenemos un problema de optimización y podemos una usar un lagrangiano. Armamos nuestra función lagrangiana:

L = función objetivo - lambda(restricción - restricción base)

L = Área de página - lambda(Área de impresión - 300)

L = A.h - lambda(A.h - (4.h + 3.A - 12) - 300)

L = A.h - lambda(A.h - 4.h - 3.A - 288)

Derivamos parcialmente nuestra función respecto a nuestras variables de interés A y h, e igualamos a cero:

La = h - lambda.h + lambda.3 = 0

Lh = A - lambda.A + lambda.4 = 0

Despejamos lambda en ambas ecuaciones e igualamos los lambda:

h + (3 - h)lambda = 0 ... (1)

A + (4 - A)lambda = 0 ...(2)

Despejamos lambda de (1) y (2) e igualamos, nos queda:

h / (3 - h) = A / (4 - A)

4.h - A.h = 3.A - A.h

4.h = 3.A

h = 3A/4 ... (3)

En (3) hemos encontrado la relación entre altura y ancho de la página, esta información al reemplazamos en la ecuación de restricción:

300 = Área de impresión = A.h - (4.h + 3.A - 12)

300 = A.h - 4.h - 3.A + 12 ... (4)

Reemplazamos la relación (3) en (4) y simplificamos la ecuación:

300 = A.3.A/4 - 4.3.A/4 - 3.A + 12

300 = 3/4.A^2 - 3.A - 3.A + 12

0 = 3/4.A^2 - 6.A + 12 - 300

0 = 3/4.A^2 - 6.A - 288

0 = 3.A^2 - 24.A - 1152

0 = A^2 - 8.A - 384

Tenemos que factorizar para encontrar las soluciones a la ecuación, tenemos que:

(A - 24)(A + 16) = 0

A = 24

A = -16

Como el ancho es un valor positivo, nos quedamos con A = 24. Ahora con este dato vamos a la relación (3):

h = 3A/4 = 3.24/4

h = 18

Entonces, con una página de 18 de altura y 24 de ancho, márgenes superiores e inferiores de 1.5, y márgenes de lado de 2 cm, exactamente tendremos 300 cm cuadrados de impresión por página.

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