Question

Desde el punto (6,0) se trazan perpendiculares a los lados 5x-y-4=0 , y=1 , x-y-4=0 de un triángulo. Demostrar que los pies de estas perpendiculares son coliniales

Answer 1

Hallemos la pendiente de la primera recta: y = 5x-4
no es difícil convencerse que $m_1=5$ y por lo tanto la pendiente de la recta ortogonal a esta es $m_1'=-\dfrac{1}{5}$ y que la ecuación de la recta ortogonal que pasa por (6,0) es:
                                $y = -\dfrac{1}{5}(x-6)$
Entonces igualamos
$5x-4=-\dfrac{1}{5}(x-6)\\ 25x-20=-x+6\\ 26x=26\\ \boxed{x=1}$
Por ello el pie de la altura es el punto P = (1,1)

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La recta y = 1, es paralela al eje x, y por ello el punto de intersección con la recta ortogonal a y = 1 que pasa por (6,0) es Q = (6,1)

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La pendiente de la recta y = x-4 es $m_2=1$ y la pendiente de su ortogonal es $m_2'=-1$ por ello su ecuación es
                                         $y=-(x-6)$

Igualando
                 $x-4=6-x\\ 2x=10\\ \boxed{x=5}$

Entonces el punto de intersección es R = (5,1)

Vemos si los puntos P = (1,1) , Q = (6,1) , R = (5,1) yacen sobre la recta y=1
Con lo que queda demostrado