Un hombre va a una tienda de ropa y compra 12 trajes, unos negros y otros grises, por 1200 €. Si los trajes negros valen 30 € más que los grises y ha comprado el mínimo posible de estos últimos, ¿cuántos trajes ha comprado de cada color?
Respuestas
Respuesta:
2 grises y 10 negros
Explicación paso a paso:
Vamos a plantearlo:
(trajes negros)=x
{trajes grises)=12-x
(precio de un traje gris)=y
(precio de un traje negro)=y+30
La ecuación queda:
x(y+30)+(12-x)y=1200
Haciendo cuentas nos queda lo siguiente:
30x+12y=1200
Como mcd(30,12)=6 es un divisor de 1200 nuestra ecuación tiene soluciones. Para obtener \alpha y \beta debemos utilizar el algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor junto con la identidad de Bezout, citada anteriormente. En este caso se obtiene
6=30-12*2
por lo que \alpha=1 y \beta=-2.
Entonces la solución particular queda de la siguiente forma:
x0=1200/6*1=200
y0=1200/6*(-2)=-400
---
A partir de esto ya es sencillo encontrar todas las soluciones:
x=200+12/6*t=200+2t
x=-400-30/6*t=-400-5t
-- Analizando los datos obtenidos sabemos que el número de trajes negros que ha comprado es Tn=200+2t, por lo que el número de trajes grises comprados es Tg=12-Tn=12-200-2t=-188-2t.
o<tg<12
<-188-2t<12
188<-2t<200
-100<t<-94
---los únicos valores posibles para t son t=\{-99,-98,-97,-96,-95 \}.
Pero el enunciado también decía que ha comprado el mínimo número de trajes grises posibles. Probando con los valores anteriores esta condición se cumple para t=-95. En consecuencia el protagonista de nuestro problema compró -188-2 (-95)=2 trajes grises y 12-2=10 trajes negros.