Question

Determina «x» si N tiene 40 divisores. N= 6 ⋅ $162^{x}$ Doy 20 puntos por la respuesta y el procedimiento correctos

Answer 1

Recuerda que si un número natural x se factoriza como

$x = x_{1}^{p_1}\cdot x_2^{p_2} \cdot ... \cdot x_k^{p_k}$

el número de divisores de x es

$(p_1+1)(p_2+1)\cdot... \cdot(p_k+1)$

Por ejemplo, como

$360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

el número de divisores de 360 es

$(3+1)(2+1)(1+1) = 24$

En el ejercicio se nos dice que

$N = 6 \cdot162^x$

que, como

$162 = 2 \cdot 3^4$

podemos factorizar:

$N = 6\cdot 162^x = 6\cdot(2\cdot 3^4)^x = 6\cdot 2^x \cdot 3^{4x} = 2\cdot 3\cdot 2^x \cdot 3^{4x} = 2^{x+1} \cdot 3^{4x+1}$

Luego el número de divisores es

$(x+1+1)(4x+1+1) = (x+2)(4x+2) = 4x^2+10x+4$

Y como el número de divisores es 40,

$4x^2 + 10x + 4 = 40$

o

$2x^2 + 5x -18 = 0$

De donde

$x = \frac{-5 \ñ \sqrt{25+144} }{4} = \frac{-5 \ñ 13}{4} = 2$

(la otra solución es negativa)

Prueba:

$6 \cdot 162^2 = 2 \cdot 3 \cdot (2 \cdot 3^4)^2 = 2^3 \cdot 3^9$

y el número de divisores es 4·10 = 40