Question

POR FAVOR AYUDAA En un triángulo ABC, recto en B . Si senA . senC =1/8. Calcular tgA + tgC

Answer 1

Respuesta:

8

Explicación paso a paso:

Partiendo del siguiente postulado:

El seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento

Se sabe que:

sen A = cos C

cos A = sen C

Sabemos que:

senA. senC = 1/8

Dividiendo ambos miembros de la igualdad para cos A:

(senAsenC)/cosA = 1/8cosA

tgAsenC = 1/8cosA

tgA = 1/8cosAsenC

Pero, como cos A = sen C

tgA = 1/8cos²A (1)

Tomando la misma hipótesis:

senA. senC = 1/8

Dividiendo ambos miembros de la igualdad para cos C:

(senAsenC)/cosC = 1/8cosC

senAtgC = 1/8cosC

tgC = 1/8cosCsenA

Pero, como sen A = cos C

tgC = 1/8sen²A  (2)

Sumando las ecuaciones 1 y 2:

tgA + tgC = 1/8cos²A + 1/8sen²A

Sacando factor común en el lado derecho:

tgA + tgC = 1/8(1/cos²A + 1/sen²A)

tgA + tgC = 1/8(sen²A+cos²A/sen²Acos²A)

Pero, sen²A + cos²A = 1, por tanto:

tgA + tgC = 1/8(1/sen²Acos²A)

Además, senA.senC = 1/8. Entonces:

tgA + tgC = senAsenC(1/sen²Acos²A)

Pero sabíamos que senC = cosA

tgA + tgC = senAcosA(1/sen²Acos²A)

Simplificando:

tgA + tgC = 1/senAcosA

Pero la hipótesis senAsenC = 1/8 puede escribirse como senAcosA = 1/8

Finalmente:

tgA + tgC = 1/1/8 = 8

Un cordial saludo