Question

NO SEAN MALOS AYUDENME CON ESTE EJERCICIO, ES DE SUMA URGENCIA. UN MILLON DE GRACIAS.

a. Dada la recta x+2y+1=0, halle el punto simétrico P’ del punto P(-2, 1) con respecto a la recta.
b. Determine el área del triángulo OPP’, siendo O el origen de coordenadas.

Answer 1

Necesitamos el punto de intersección entre la recta dada y la perpendicular que pasa por P

La pendiente de esta recta es - 1/2; por lo tanto la perpendicular tiene pendiente 2

La recta perpendicular es: y - 1 = 2 (x + 2)

La interceptamos con x + 2 y + 1 = 0

Para ser breves, el punto de interseccón es Po (- 11/5, 3/5)

Las coordenadas del punto medio de un segmento es el promedio aritmético entre las coordenadas respectivas.

Dado que conocemos el punto medio, debemos hallar P' el otro extremo

- 11/5 = (x - 2) / 2 de modo que x = - 12/5

3/5 = (y + 1) / 2; luego y = 1/5

En consecuencia P' (- 12/5, 1/5) es el punto simétrico de P, respecto de la recta.

Tenemos ahora un triángulo, del que conocemos las coordenadas de los tres vértices.

La mejor forma de hallar el área es utilizar la fórmula de Herón.

Necesitamos el perímetro del triángulo

OP = √(2² + 1²) = √5 = 2,24

OP' = √[(12/5)² + (1/5)²] = √(145)/5 = 2,41

PP' = √[(- 11/5 + 2)² + (3/5 - 1)²] = 0,45

El semiperímetro es p = (2,24 + 2,41 + 0,45) / 2 = 2,55

El área es S = √[2,55 (2,55 - 2,24) (2,55 - 2,41) (2,55 - 0,45)] = 0,50

Revisa por si hay errores.

Adjunto gráfico con los datos y respuestas.

Saludos Herminio