Question

Una compañía que produce cristales sabe por experiencia que 30% de sus copas de mesa tienen imperfecciones cosméticas y deben ser clasificadas como “de segunda”. Se seleccionan 5 copas al azar y se considera que la probabilidad de que cada una sea de segunda es independiente de que lo sean las demás. a) Encuentre la función de probabilidad de la cantidad de copas de segunda que hay entre las cinco seleccionadas. b) ¿Cuál es el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la cantidad de copas de segunda entre las cinco seleccionadas? c) Obtenga la función de probabilidad acumulada. d) Calcule, utilizando la función de probabilidad acumulada la probabilidad de que el número de copas de segunda entre las cinco seleccionada se encuentre a menos de dos desviaciones estándar de la media.

Answer 1

La probabilidad de que el número de copas de segunda, entre las cinco seleccionadas, se encuentre a menos de dos desviaciones estándar de la media es de 0,50.

Explicación paso a paso:

a) Encuentre la función de probabilidad de la cantidad de copas de segunda que hay entre las cinco seleccionadas.  

Vamos a considerar que cada copa, de n copas disponibles, es independiente del resto y que vamos a realizar el experimento de conocer si ella tiene imperfecciones cosméticas o no. Esto se conoce como experimento aleatorio dicotómico (dos resultados) y se estudia por medio de la distribución binomial.  

Un experimento aleatorio que consiste de n ensayos repetidos tales que:  

1. Los ensayos son independientes,  

2. Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles, denominados “éxito” y “fracaso”, y  

3. La probabilidad de éxito en cada ensayo, denotada por p, permanece constante recibe el nombre de experimento binomial.  

La variable aleatoria X que es igual al número de ensayos donde el resultado es un éxito, tiene una distribución binomial con parámetros p y n = 1, 2, 3, ...  

La Probabilidad de    X  =  x  es:

$\bold{P(X~=~x)~=~(\begin{array}{c}n\\x\end{array}) p^x (1-p)^{(n-x)}}$

donde    $(\begin{array}{c}n\\x\end{array})$    es el número combinatorio:  

$\bold{(\begin{array}{c}n\\x\end{array})~=~\dfrac{n!}{(n~-~x)!x!}}$  

En el caso que nos ocupa definimos la variable aleatoria binomial  

X = Número de copas en la muestra que tienen imperfecciones cosméticas  

p = 0,3 (30%)          n = 5  

Entonces, la función de probabilidad de la cantidad de copas de segunda que hay entre las cinco seleccionadas es:

$\bold{P(X~=~x)~=~(\begin{array}{c}5\\x\end{array}) (0,3)^x (0,7)^{(5-x)}}$

b) ¿Cuál es el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la cantidad de copas de segunda entre las cinco seleccionadas?  

En una distribución binomial, las variables aleatorias cumplen con:

La Esperanza de X = E(X) = µ = n p  

La Varianza de X = V(X) = σ² = n p (1 - p)  

La Desviación Estándar de X = σ = $\sqrt{V(X)}$  

En el caso estudio,        n  =  5,    p  =  0,3

La Esperanza de X  =  E(X)  =  µ  =  (5)(0,3)  =  1,5  

La Varianza de X  =  V(X)  =  σ²  =  (5)(0,3)(1 – 0,3)  =  1,05  

La Desviación Estándar de X  =  σ  = $\sqrt{V(X)}~=~\sqrt{1,05}~=~1,02$  

c) Obtenga la función de probabilidad acumulada.  

La función de probabilidad acumulada es  

$\bold{P(X~\leq~x)~=~\Sigma_{i~=~0}^{x}[(\begin{array}{c}5\\x\end{array}) (0,3)^x (0,7)^{(5-x)}]}$

d) Calcule, utilizando la función de probabilidad acumulada la probabilidad de que el número de copas de segunda entre las cinco seleccionada se encuentre a menos de dos desviaciones estándar de la media.

Se desea hallar la probabilidad de que  x  se encuentre entre   µ  -  2σ   y    µ  +  2σ;     es decir, entre        1,5 – 1,02    y    1,5 + 1,02,      o sea,     0,48  y  2,52.    

Ya que  x  es un número entero,  se desea hallar la probabilidad de  x  se encuentre entre  1  y  2,  los enteros que se encuentran en el intervalo solicitado:  

$\bold{P(1 \leq~x~\leq 2)~=~P(X~=~1)~+~P(X~=~2)~~~~ ~~\Rightarrow}$

$\bold{P(1 \leq~x~\leq 2)~=~ (\begin{array}{c}5\\1\end{array}) (0,3)^{1} (0,7)^{(5-1)}~+~(\begin{array}{c}5\\2\end{array}) (0,3)^{2} (0,7)^{(5-2)}~~~~ ~~\Rightarrow }$

$\bold{P(1 \leq~x~\leq 2)~=~ 0,36~+~0,14~=~0,50}$

La probabilidad de que el número de copas de segunda, entre las cinco seleccionadas, se encuentre a menos de dos desviaciones estándar de la media es de 0,50.