Question

Calcula el valor del lado y de los ángulos faltantes en el triángulo de la figura.

Answer 1

El lado c tiene una longitud de aproximadamente 69,66 centímetros. El ángulo α tiene un valor aproximado de 57° 40' y el ángulo β mide aproximadamente 44° 59'  

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo acutángulo

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

• El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

• El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold {a^{2} = b^{2} +c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . cos(\alpha) }}$

$\boxed {\bold {b^{2} = a^{2} +c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . cos(\beta) }}$

$\boxed {\bold {c^{2} = a^{2} +b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . cos(\gamma) }}$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Solución del problema:

Hallando el valor del lado c (lado AB)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold {AB^{2} = BC^{2} +AC^{2} - 2 \ . \ BC \ . \ \ AC \ . cos(\gamma) }}$

ó

$\boxed {\bold {c^{2} = a^{2} +b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . cos(\gamma) }}$

Reemplazamos valores

$\boxed {\bold {c^{2} = a^{2} +b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . cos(\gamma) }}$

$\boxed {\bold {c^{2} = 60^{2} +50^{2} - 2 \ . \ 60 \ . \ 50 \ . cos(78\°) }}$

$\boxed {\bold {c^{2} = 3600 +2500 - 6000 \ . cos(78\°) }}$

$\boxed {\bold {c^{2} = 6100 - 6000 \ . 0,20791169081 }}$

$\boxed {\bold {c^{2} = 6100 - 1247,47 }}$

$\boxed {\bold {c^{2} = 4852,53 }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c^{2} } = \sqrt{ 4852,53 } }}$

$\boxed {\bold {c \approx 69,660103 }}$

$\boxed {\bold {c \approx 69,66 \ cm }}$

La longitud del lado c es ≅ 69,66 cm

Hallando el valor del ángulo α

Si

$\boxed {\bold {a^{2} = b^{2} +c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . cos(\alpha) }}$

Podemos expresar

$\boxed {\bold {cos(\alpha) =\frac{ b^{2} +c^{2} - a^{2} }{ 2 \ . \ b \ . \ c } }}$

$\boxed {\bold {cos(\alpha) =\frac{ 50^{2} +69,66^{2} - 60^{2} }{ 2 \ . \ 50 \ . \ 69,66 } }}$

$\boxed {\bold {cos(\alpha) =\frac{ 2500 +4852,51 - 3600 }{ 2 \ . \ 50 \ . \ 69,66 } }}$

$\boxed {\bold {cos(\alpha) =\frac{ 3752,51 }{ 6966 } }}$

$\boxed {\bold {cos(\alpha) = 0,5386893482 }}$

$\boxed {\bold { \alpha = arccos( 0,5386893482) }}$

$\boxed {\bold { \alpha \approx 57\° 40' }}$

El valor del ángulo α es ≅ 57° 40'

Hallando el valor del ángulo β

Si

$\boxed {\bold {b^{2} = a^{2} +c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . cos(\beta) }}$

Podemos expresar

$\boxed {\bold {cos(\beta) =\frac{ a^{2} +c^{2} - b^{2} }{ 2 \ . \ a \ . \ c } }}$

$\boxed {\bold {cos(\beta) =\frac{ 60^{2} +69,66^{2} - 50^{2} }{ 2 \ . \ 60 \ . \ 69,66 } }}$

$\boxed {\bold {cos(\beta) =\frac{ 3600 +4852,51 - 2500 }{ 2 \ . \ 50 \ . \ 69,66 } }}$

$\boxed {\bold {cos(\beta) =\frac{ 5952,51 }{ 8359,20 } }}$

$\boxed {\bold {cos(\beta) = 0,7120908699 }}$

$\boxed {\bold { \beta = arccos (0,7120908699) }}$

$\boxed {\bold { \beta \approx 44\° 59' }}$

El valor del ángulo β es ≅ 44° 59'