Respuestas
Respuesta:
hay que un menos (1,-2,2) 14,62
Respuesta:
a) A = {(2x, x, −7x)/x ∈ R}
El conjunto A es una recta vectorial escrita en forma paramétrica.
Se deja al alumno comprobar que A es subespacio vectorial de
R
3
. Debe demostrarse que, para cualesquiera dos vectores u¯ =
(2x1, x1, −7x1) ∈ A, v¯ = (2x2, x2, −7x2) ∈ A y un escalar λ ∈ R,
se cumple que u¯ + ¯v ∈ A y que λu¯ ∈ A.
b) A = {(x, y, z)/xy = 1}
El conjunto A no es subespacio vectorial de R
3
. Basta comprobar
que el elemento neutro ¯0 = (0, 0, 0) no está en A.
c) A = {(x, y, z)/x = y ó x = z}
El conjunto A es la unión de dos planos vectoriales y no es subespacio vectorial de R
3
. Para ello, basta elegir dos vectores que
estén en A y cuya suma no permanezca en A. Por ejemplo, sean
u¯ = (1, 1, 0) ∈ A y v¯ = (1, 2, 1) ∈ A. Es claro que u¯ + ¯v /∈ A.
d) A = {(x, y, z)/x + y + z = 0 y x − y − z = 0}
El conjunto A es una recta vectorial (intersección de dos planos
vectoriales) y sí es un subespacio vectorial de R
3
. Se deja al alumno comprobarlo (véase el ejercicio 5 para una demostración de
este resultado en un ámbito más general).
2. Analizar cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales
de Rn[t] (conjunto de los polinomios con grado menor o igual a n ≥ 1,
con coecientes en el cuerpo R).
a) El conjunto A de todos los polinomios con coecientes en R de
grado n y el polinomio cero.
El conjunto A no es subespacio vectorial de Rn[t]. Basta elegir
los polinomios p(t) = t
n ∈ A y q(t) = t
n + 1 ∈ A. Es claro que
q(t) − p(t) ∈/ A.
b) A = {p(t) ∈ Rn[t]/3p(0) + p(1) = 1}.
El conjunto A no es subespacio vectorial de Rn[t] ya que el elemento neutro (el polinomio idénticamente nulo) no está en A.
c) A = {p(t) ∈ Rn[t]/p0
(0) + p
00(0) = 0}
El conjunto A es subespacio vectorial de Rn[t]. Se escogen dos
polinomios p(t), q(t) ∈ A y un escalar λ ∈ R. Entonces
2 1 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
(p + q)
0
(0) + (p + q)
00(0) = p
0
(0) + q
0
(0) + p
00(0) + q
00(0) = 0
Esto demuestra que p + q ∈ A. Por otro lado,
(λp)
0
(0) + (λp)
00(0) = λ(p
0
(0) + p
00(0)) = 0
con lo que λp ∈ A.
3. Analizar cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales
de Mn×n(R).
a) A = {M ∈ Mn×n(R)/det(M) = 0}.
El conjunto A no es subespacio vectorial de Mn×n(R). Basta considerar las matrices diagonales
M1 =
1
.
.
.
1
0
, M2 =
0
.
.
.
0
1
Es claro que M1, M2 ∈ A pero M1 + M2 ∈/ A.
b) A = {M ∈ Mn×n(R)/det(M) 6= 0}
El conjunto A no es subespacio vectorial de Mn×n(R) ya que el
elemento neutro (la matriz nula) no pertenece a A.
c) A = {M ∈ Mn×n(R)/tr(M) = 0}.
El conjunto A es subespacio vectorial de Mn×n(R). Consideremos dos matrices M1 y M2 con tr(M1) = tr(M2) = 0. Entonces
tr(M1 + M2) = tr(M1) + tr(M2) = 0, con lo que se prueba que
M1 +M2 ∈ A. Es igualmente fácil ver que, dado λ ∈ R y M1 ∈ A,
entonces λM1 ∈ A.
4. Sea F(R, R) el espacio vectorial real de las funciones reales de variable
real. Estudiar cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios
vectoriales de F(R, R).
a) W = {f ∈ F(R, R)/f es continua en el intervalo (a, b)}.
Como la suma de funciones continuas es continua y el producto
por un escalar de una función continua es otra función continua,
se tiene que W es subespacio vectorial de F(R, R).
b) W = {f ∈ F(R, R)/f(1) = f(2)}.