Question

Hola podrían ayudarme hacer estas operaciones, no las llego a captar soy muy malo en matemáticas :"u

Answer 1

Hola :D

Tema: Operaciones con números complejos.

Bueno, antes de resolver los problemas hay que establecer lo siguiente:

$\boxed{i = \sqrt{ - 1}} \: \boxed{ {i}^{2} = - 1 } \: \boxed{ {i}^{3} = - i} \: \boxed{ {i}^{4} = 1 }$

Recordarlo anterior es esencial.

$\clubsuit \: \dfrac{(2 + 3i)^{2}( 1 - 2i)}{2 {i}^{77} - {i}^{726} }$

En el numerador vamos a desarrollar el binomio al cuadrado, recordemos que es de la forma:

$\boxed{(a \pm \: b)^{2} = {a}^{2} \pm 2ab + {b}^{2} }$

Entonces:

$(2 + 3i)^{2} = {(2)}^{2} + 2(2)(3i) + {(3i)}^{2}$

$(2 + 3i)^{2} = 4 + 12i + (9) \underbrace{({i}^{2})}_{ {i}^{2} = - 1}$

$(2 + 3i)^{2} = 4 + 12i + (9)( - 1)$

$(2 + 3i)^{2} = \texttt{- 5 + 12i}$

Luego, éste valor se multiplica con $1-2i$, aplicando propiedad distributiva tendremos:

$-5+10i+12i-(24)\underbrace{(i^{2})}_{i^{2}=-1}$

$19 + 22i$

Pasamos al denominador:

${i}^{77} \: \texttt{tambien \: se \: puede \: escribir \: como}$

$( \underbrace{{i}^{4}}_{ {i}^{4} = 1 } )^{19} (i) \rightarrow \: (1)(i) \therefore{i}$

Pero le antecede un $2$, entonces, queda como $2i$. Luego:

${i}^{726} \rightarrow \: ( \underbrace{ {i}^{4}}_{ {i}^{4} = 1}) {}^{181} ( \underbrace{{i}^{2}}_{ {i}^{2} = - 1})$

$(1)( - 1) \therefore - 1$

Pero le antecede un negativo, entonces, se aplica la propiedad de la resta, quedando $1$, luego recopilamos todo lo obtenido:

$\dfrac{19 + 22i}{ 1 + 2i}$

Para obtener una respuesta multiplicamos por el conjugado del denominador.

¿Qué es el conjugado?

Es cambiarle el signo a números no reales, ya que el conjugado de un número real es él mismo:

$( \dfrac{19 + 22i}{1 + 2i} )( \dfrac{1 - 2i}{1 - 2i} )$

En el denominador nos queda una diferencia de cuadrados, el cual es de la forma:

$\boxed{(a + b)(a - b) = {a}^{2} - {b}^{2} }$

Entonces, lo aplicamos:

$(1 + 2i)(1 - 2i) = 1 - (4)( \underbrace{{i}^{2}}_{ {i}^{2} = - 1 } )$

$(1 + 2i)(1 - 2i) = \texttt{5}$

En el Numerador se aplica otra vez Propiedad Distributiva:

$19-38i+22i-44\underbrace{i^{2}}_{i^{2}= - 1}$

$63 - 16i$

Entonces, nos queda:

$\dfrac{63 - 16i}{5} \rightarrow \boxed{ \boxed{ \bold{ \frac{63}{5} - \frac{16i}{5} }}}$

$\clubsuit \: (2 + 3i)(3 - 2i) - (2 - 3i)$

Se aplica Propiedad Distributiva:

$6 - 4i + 9i -6 \underbrace{ {i}^{2} }_{ {i}^{2} = - 1 }$

$12 + 5i$

Luego, procedemos a operar lo último, recordando que no se usa leyes de los signos, se usan las propiedades de resta:

$12 + 5i - 2 + 3i \rightarrow \boxed{ \boxed{ \bold{10 + 8i}}}$

$\clubsuit \: \dfrac{(2 - 3i) - (2 + 3i)(3 - 2i)}{ {3i}^{17} - 1}$

Lo del Numerador ya lo obtuve en parte al ejercicio anterior, entonces, voy rápido:

$2 - 3i - 12 - 5i \rightarrow \texttt{ - 10 - 8i}$

En el Denominador:

${i}^{17 } \rightarrow \: ( \underbrace{{i}^{4}}_{ {i}^{4} = 1 } ) {}^{4} (i) \therefore \: i$

Está multiplicando con el $3$, por lo que queda $3i$, entonces:

$( \dfrac{ - 10 - 8i}{ - 1 + 3i})( \dfrac{ - 1 - 3i}{ - 1 - 3i} )$

En el Numerador se aplica Propiedad Distributiva:

$10+30i+8i-24\underbrace{i^{2}} _{ {i}^{2} = - 1}$

$\texttt{34 + 38i}$

En el Denominador:

${( 1)}^{2} - {(3i)}^{2} \rightarrow1 - 9\underbrace{ {i}^{2} }_{ {i}^{2} = - 1 }$

$\Rightarrow \texttt{10}$

Entonces, tendremos:

$\dfrac{34 + 38i}{10} \Rightarrow \boxed{ \boxed{ \bold{ \frac{17}{5} + \frac{19i}{5} }}}$

Espero haberte ayudado,

Saludos cordiales, AspR178 !!!!

Moderador Grupo ⭕✌️✍️