AYUDENME POR FAVOR Y LES SIGO Hallar el valor de "n" en los siguientes números A = 15 x 40n y B = 15n x 40 para que el MCM tenga 200 divisores .
Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
A = 15 . 40^n ; B= 15^n . 40 MCM = 200 divisores
Tener en cuenta que:
(*) MCM = múltiplos comunes y no comunes con su mayor exponente
200 = 2^3 . 5^2 = 10 . 5 . 4
15 = 3 . 5 ; 40 = 2^3 . 5
15^n = 3^n . 5^n ; 40^n = 2^3n . 5^n uniendo todo tenemos
(3 . 5 . 2^3n . 5^n ; 3^n . 5^n . 2^3 . 5)
(2^3n . 5^n+1 . 3 ; 2^3 . 3^n . 5^n+1)
Recordando (*) tomamos :
2^3n . 5^n+1 . 3^n
Luego para encontrar el numero de divisores a cada exponente de las expresiones se les suma 1 y se iguala al numero de exponentes y nos queda
(3n + 1) . (n + 1 + 1) . (n + 1) = 10 . 5 . 4 luego en ese mismo orden separamos la expresión de mayor a menor
3n + 1 = 10 despejando tenemos 3n = 9 ;n = 3
n + 2 = 5 despejando tenemos n = 3
n + 1 = 4 despejando tenemos n = 3
"n = 3"
"Para comprobar"
MCM(135;960)x10^3 descomponemos en factores primos
135 = 3^3 . 5 ; 960 = 2^6 . 3 . 5
(3^3 . 5 ; 2^6 . 3 . 5) x 10^3 pero 10^3 = 2^3 . 5^3 entonces nos queda:
(2^3 . 3^3 . 5^4 ; 2^9 . 3 .5^4) tomando los comunes y no comunes con su mayor exponente tenemos:
2^9 . 3^3 .5^4 para saber cuantos divisores tiene dicho numero basta tomar los exponentes sumarle 1 y multiplicarlos entre si es decir:
(9+1).(3+1).(4+1) = 10 . 4 . 5 = 200
Respuesta:
200
Explicación paso a paso:
A = 15 . 40^n ; B= 15^n . 40 MCM = 200 divisores
Tener en cuenta que:
(*) MCM = múltiplos comunes y no comunes con su mayor exponente
200 = 2^3 . 5^2 = 10 . 5 . 4
15 = 3 . 5 ; 40 = 2^3 . 5
15^n = 3^n . 5^n ; 40^n = 2^3n . 5^n uniendo todo tenemos
(3 . 5 . 2^3n . 5^n ; 3^n . 5^n . 2^3 . 5)
(2^3n . 5^n+1 . 3 ; 2^3 . 3^n . 5^n+1)
Recordando (*) tomamos :
2^3n . 5^n+1 . 3^n
Luego para encontrar el numero de divisores a cada exponente de las expresiones se les suma 1 y se iguala al numero de exponentes y nos queda
(3n + 1) . (n + 1 + 1) . (n + 1) = 10 . 5 . 4 luego en ese mismo orden separamos la expresión de mayor a menor
3n + 1 = 10 despejando tenemos 3n = 9 ;n = 3
n + 2 = 5 despejando tenemos n = 3
n + 1 = 4 despejando tenemos n = 3
"n = 3"
"Para comprobar"
MCM(135;960)x10^3 descomponemos en factores primos
135 = 3^3 . 5 ; 960 = 2^6 . 3 . 5
(3^3 . 5 ; 2^6 . 3 . 5) x 10^3 pero 10^3 = 2^3 . 5^3 entonces nos queda:
(2^3 . 3^3 . 5^4 ; 2^9 . 3 .5^4) tomando los comunes y no comunes con su mayor exponente tenemos:
2^9 . 3^3 .5^4 para saber cuantos divisores tiene dicho numero basta tomar los exponentes sumarle 1 y multiplicarlos entre si es decir:
(9+1).(3+1).(4+1) = 10 . 4 . 5 = 200
:)