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Respuesta:
Para poder determinar el ángulo β primero debemos seguir una serie de pasos para hacer el proceso más sencillo, estos son
Calcular la distancia EF
Calcular la distancia DF
calcular el ángulo β
Calcular la distancia EF
Para poder hallar la distancia EF debemos hacer uso de la ley de cosenos, que nos dice lo siguiente
EF = \sqrt{18.7^2 + 54.7^2 - 2*18.7*54.7*cos(89.7)}
Resolviendo, tenemos
EF = \sqrt{349.69 + 2992.09 - 2045.78cos(89.7)} = \sqrt{3341.78 - 2045.78*0.005}\\\\EF = \sqrt{3341.78 - 10.711} = 57.715
Calcular la distancia DF
Podemos notar que EF es el diámetro de la circunferencia, mientras que DF es un radio, lo que implica que DF es la mitad de EF es decir
DF = EF / 2 = 57.715 / 2 = 28.8575
Nota: La distancia DH también es un radio de la circunferencia, por lo que DH = DF = 28.8575
Calcular el ángulo β
Para calcular el ángulo β hacemos nuevamente uso de la ley de cosenos, en este caso, tenemos
DF^2 = DH^2 + 34^2 - 2*34*DHcos(\beta)\\\\DF^2 = DF^2 + 34^2 - 2*34DFcos(\beta)\\\\2*34*DFcos(\beta) = 34^2\\\\cos(\beta) = \frac{34}{2DF} = \frac{17}{DF}\\\\\beta = cos^{-1}(\frac{17}{DF})
Por lo que si sustituimos DF en la ecuación, tenemos
\beta = cos^{-1}(17/28.8575)=cos^{-1}(0.5891)=53º 54'
es decir, β = 53º 54'
Explicación paso a paso: