Una canaleta para lluvia es construida de una hoja de meta de 30 cm de ancho. Esta se construye doblando la hoja por ambos lados con el mismo ángulo de elevación (como muestra la figura). ¿Qué ángulo debe ser considerado para que la canaleta pueda ser capaz de llevar la máxima cantidad de agua? (Encontrar los puntos críticos con el método de newton)
Respuestas
Respuesta:
Veamos. Hacemos dos dobleces de x pulgadas cada uno. La parte no doblada es entonces 30 - 2 x
a) A = x (30 - 2 x) es el área en función del doblez x
b) Una función es máxima en los puntos de primera derivada nula y segunda derivada negativa.
b) A = 30 x - 2 x²
Derivamos: A' = 30 - 4 x = 0; A'' = - 4 < 0, máximo
30 - 4 x = 0, nos lleva a x = 7,5 pulgadas.
La canaleta tiene 7,5 de alto y 15 de ancho.
El área máxima es A = 7,5 . 15 = 112,5 pulg²
Adjunto gráfico de la función área, donde se destaca el valor máximo.
Saludos Herminio
Pero en el enunciado dice que la plancha es rectangular, como puede usted calcular el área (base * altura) utilizando como base (30-2x, que esta bien) y como altura el ancho de los dobleces? Y la longitud? Al ser un rectángulo, los otros dos lados no pueden ser iguales a la base, o sea. No puede ser (30-2x)^2, ni mucho menos utilizar x, ya que x se refiere a los dobleces, no a la longitud. En todo caso seria (30-2x) * Y. Aqui (30-2x) es la "base", "Y" seria la longitud/altura. X son los dobleces. Lo que tendría que hacer es buscar una forma de calcular Y en función de las áreas que da 30*Y y (30-2x)*Y. Para despejar Y en primer lugar. O no?
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