Question

En un triángulo rectángulo, el seno de uno de sus
ángulos agudos es igual a 9/41. Si su perímetro es
270 cm, cuál es la medida de su mayor cateto?​

Answer 1

Respuesta:

120 cm

Explicación paso a paso:

Primero, para resolver el problema es necesario plantear un gráfico con la información brindada

Por un lado, la definición del seno de un ángulo es igual al cateto opuesto sobre la hipotenusa

Sabiendo esto:

hipotenusa = 41 cm

cateto a = 9 cm

Para averiguar el valor del otro cateto se puede usar el teorema de Pitágoras:

$41 = \sqrt{9^2+b^2}\\1681 = 81+b^2\\1600=b^2\\40=b$

Una vez que tenemos los valores de los 3 lados del triángulo, su perímetro actual será:

P = 40+9+41 = 90 cm

Pero como dice que el perímetro es de 270 cm, este valor lo podemos obtener multiplicando ambos lados de la igualdad por 3:

P = 3(40+9+41) = 270 cm

P = 120+27+123 = 270 cm

Por lo tanto, de estos últimos valores podemos concluir que la medida de su mayor cateto es 120 cm

Un cordial saludo

Answer 2

En el triángulo rectángulo A'B'C' la medida del cateto mayor es el a' con un valor de 120 cm

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Vamos a dibujar un triángulo rectángulo con los datos que nos proporciona el ejercicio

• Sabemos que el seno de un ángulo es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.    

En donde el ángulo A será el ángulo agudo cuyo seno es igual a 9/41, y el ángulo B será el ángulo de 90° del triángulo rectángulo.  

Entonces en este triángulo el lado AB será uno de los catetos - el de valor desconocido- , el lado BC será el otro cateto (el cual es el cateto opuesto al ángulo A) por lo tanto su valor es de 9 cm, y el lado AC será la hipotenusa que mide 41 cm.  

Emplearemos el teorema de Pitágoras para hallar el valor del cateto desconocido - el lado AB (cateto a).    

El Teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".

El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos saber el valor del tercero.

Expresamos

$\boxed{ \bold {a^{2} + b^{2} = c^{2} }}$

$\boxed{ \bold {a^{2} = c^{2} -b^{2} }}$

$\boxed{ \bold {a^{2} = 41^{2} -9^{2} }}$

$\boxed{ \bold {a^{2} = 1681-81}}$    

$\boxed{ \bold {a^{2} = 1600}}$

$\boxed{ \bold {\sqrt{a^{2} } = \sqrt{ 1600}} }$

$\boxed{ \bold {a = 40}} }$

El cateto a (lado AB) mide 40 cm      

En este triángulo rectángulo ABC que hemos resuelto los valores de los lados tienen los valores siguientes

• Cateto a = Lado AB =       ⇒  40 cm

• Cateto b = Lado BC =       ⇒     9 cm

• Hipotenusa = Lado AC =  ⇒   41 cm

Vamos a hallar el perímetro del triángulo ABC

$\boxed {\bold{Per\'imetro \ Tri\'angulo \ ABC = a + b + c }}$

$\boxed {\bold{Per\'imetro \ Tri\'angulo \ ABC = 40 \ cm + 9\ cm + 41 \ cm }}$

$\boxed {\bold{Per\'imetro \ Tri\'angulo \ ABC = 90 \ cm }}$

Como se nos pide hallar un triángulo rectángulo en donde el seno de uno de sus ángulos agudos sea igual a 9/41 y con un perímetro de 270 cm

Buscaremos un triángulo semejante al dado que satisfaga esos requerimientos

Tendremos entonces el triángulo rectángulo A'B'C' en donde aumentaremos el triángulo original ABC triplicando el valor de sus medidas, obteniendo de ese modo un triángulo semejante al ABC, el A'B'C' que cumplirá los requerimientos pedidos por el enunciado.  

Se trata de multiplicar el valor de sus lados por un número que es una constante, que en este caso esa constante es de valor 3. En donde los lados del triángulo rectángulo A'B'C' aumentarán con esa proporcionalidad y en donde valor del ángulo agudo A del triángulo rectángulo original se mantendrá igual en el ángulo agudo A', ya que los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes.        

En este triángulo rectángulo A'B'C' que proponemos los valores de los lados tienen los valores siguientes  

• Cateto a = Lado A'B' =       ⇒  40 cm · 3 = 120 cm

• Cateto b = Lado B'C' =       ⇒     9 cm · 3 = 27 cm

• Hipotenusa = Lado A'C' =  ⇒   41 cm · 3 = 123 cm

 

Vamos a hallar el perímetro del triángulo A'B'C'        

$\boxed {\bold{Per\'imetro \ Tri\'angulo \ A'B'C' = a' + b' + c' }}$

$\boxed {\bold{Per\'imetro \ Tri\'angulo \ A'B'C '= 120 \ cm + 27\ cm + 123 \ cm }}$    

$\boxed {\bold{Per\'imetro \ Tri\'angulo \ A'B'C '= 270\ cm }}$

En donde el cateto mayor es el a' con un valor de 120 cm