Question

Si al ser dividido entre 9 el numeral 2a3b2a3b.... 2a3b de 712 cifras deja residuo 2, calcular el valor de a + b.

Answer 1

Hay que usar el algoritmo de la division:

$D = d \times q + R$

D: Dividendo

d: Divisor

q: Cociente

R: Residuo

Reemplazando:

$\frac{}{2a3b...2a3b} = q \times 9 + 2 \\ \frac{}{2a3b...2a3b} - 2 = 9q$

Ahora, como hay 712 digitos en ese numeral, y hay 4 digitos que se repiten, podemos afirmar que esos digitos de 4 cifras se repiten 178 veces, solo queda aplicar el criterio de divisibilidad del 9 el cual hace que se deba cumplir que la suma de cifras del numeral debe ser multiplo de 9.

$178(2 + a + 3 + b) = 9k + 2 \\ 178(5 + a + b) = 9k + 2$

Los numeros mas próximos que cumplen esta condicion son el 178×8 y el 178×17

Por lo tanto:

$5 + a + b = 8 \\ a + b = 3$

$5 + a + b = 17 \\ a + b = 12$