Question

Un individuo situado a 60 m sobre el suelo ve subir, pasando delante de él, un cuerpo lanzado desde abajo. Ocho segundos después lo ve bajar. ¿Con qué velocidad fue lanzado el cuerpo?

Answer 1

su poniendo que se lanza desde el suelo, la altura del movil respecto al tiempo cumplirá:

h = vi*t - 1/2*g*t^2

siendo h la altura en cada instante, vi la velocidad inicial buscada, g la gravedad y t el tiempo

si hacemos h = 60 m tendremos:

60 = vi*t - 1/2*g*t^2=>
0 = - 60 + vi*t - 1/2*g*t^2

aproximando g = 10 m/s2, nos queda:

0 = -60 + vi*t - 5*t^2

es una ecuación de segundo grado en t que tendrá dos soluciones, y dichas soluciones corresponderán a los dos instantes en los que la altura vale 60m

aplicando la fórmula de resolución de ecuaciones de segundo grado, los dos valores de t buscados serán:

t1 = [-vi + raiz (vi^2 - 4*(-5)*(-60)) ]/ (2*(-5)) = [-vi + raiz (vi^2 - 1200)] / -10
t2 = = [-vi - raiz (vi^2 - 1200)] / -10

pero sabemos por el enunciado que t2 - t1 = 8s

restando ambas:

8 = t2 - t1 = - 2*raiz (vi^2 - 1200) / -10 = raiz (vi^2 - 1200) / 5

y despejando vi:

40 = raiz (vi^2 - 1200) =>
40^2 = vi^2 - 1200 =>
1600 = vi^2 - 1200 =>
vi = raiz (1600+1200) = raiz (2800) = 52,92 m/s

2) en lugar de liarnos con las ecuaciones de movimiento de los dos móviles, para resolver este problema lo más facil es tener en cuenta que el primer móvil ascenderá un tramo y despues volverá a descender, y se cumplirá que cuando pase de nuevo por el punto de lanzamiento, su velocidad será la misma del lanzamiento sólo que hacia abajo

es decir, a partir de ese punto su movimiento es idéntico en todo al movimiento del segundo movil, ya que el segundo móvil fue lanzado hacia abajo con la misma velocidad inicial hacia abajo

y por tanto, a partir de ese punto, el tiempo que tarda en llegar al suelo el primer movil, será igual que tarda el segundo móvil

esto quiere decir que los 5s de diferencia entre ambos corresponden obligatoriamente al tiempo que tarda el primero en subir desde el punto de lanzamiento hasta su altura máxima y en volver a bajar de nuevo hasta el punto de lanzamiento

y para simplificar aún más las cosas tenemos en cuenta que el tiempo que tarda en llegar a su altura máxima es igual al que tarda en volver de nuevo a la altura de lanzamiento, es decir que el tiempo que tarda en llegar a la altura máxima es la mitad de 5s, es decir 2,5 s

y como el tiempo en llegar a la altura máxima es el tiempo que tarda en hacerse cero su velocidad inicial, igualando a cero la expresión de la velocidad del primer movil cuando el tiempo vale 2,5s, tenemos:

v = vi - g*t =>
0 = vi - g*2,5 =>
vi = g*2,5 =>
vi = 10*2,5 = 25 m/s

espero que te sirva, este es un ejemplo de problema que puede resolverse fácilmente razonando un poco sobre él, pero que es muy complejo si lo intentas resolvar aplicando directamente las fórmulas, la alternativa sería plantear las ecuaciones de movimiento de ambos móviles, despejar los tiempos de caida en función de vi y tener en cuenta que la diferencia de tiempos son 5s, segramente también llegaríamos al resultado, pero sin duda tendríamos que resolver ecuaciones mucho más complejas