Question

1. Desde lo alto de un faro, se observa a un mismo lado, dos barcos anclados, con ángulos de depresión de 53º y 37º. Si los barcos están separados una distancia de 14 m. ¿Cuál es la altura del faro?

Answer 1

La altura h del faro es de 24 metros    

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo 37-53 es lo que se denomina un triángulo notable

Representamos la situación del problema en dos triángulos rectángulos:    

El ADC: el cual está conformado por el lado CD que equivale a la altura del faro, el lado AC que representa la distancia sobre el plano del agua desde el barco más lejano hasta la base del faro -donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción- : la del segmento AB: --dado que sabemos la distancia de separación entre ambos barcos -hasta el segundo punto de avistamiento donde se ubica la segunda embarcación, y desconocemos la longitud del segmento BC - a la cual llamaremos distancia "x" -siendo la distancia desde el barco más cercano hasta la base del faro- y el lado AD es la longitud visual desde los ojos del observador- en lo alto del faro- hasta el barco más lejano visto con ángulo de depresión de 37°

El BCD: el cual está configurado por el lado CD que equivale a la altura del faro, el lado BC que es la distancia sobre el plano del agua desde la segunda embarcación o barco más cercano -ubicado en el segundo punto de avistamiento- hasta la base del faro. Esta distancia es de valor desconocido y es a la que llamamos distancia "x". Y por último tenemos el lado DB que equivale a la longitud visual desde los ojos del observador- en lo alto del faro- hasta el barco más cercano visto con ángulo de depresión de 53°

Donde se pide hallar:

La altura h del faro

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se trasladan los ángulos de depresión de 37° y de 53° a los puntos A y B respectivamente para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en el gráfico adjunto

Para resolver este ejercicio vamos a plantear un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a las que llamaremos variable x y variable h

Donde "x" será la distancia a hallar sobre la línea del agua hasta la base del faro desde el barco más cercano a este, ubicado en el segundo punto de avistamiento

Y dónde la incógnita "h" será la altura del faro

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Siendo la altura "h" del faro el cateto opuesto a los ángulos dados y en donde las diferentes distancias hasta el faro son los catetos adyacentes de los respectivos ángulos de depresión

En donde la altura "h" del faro es un valor que no cambiará para ninguna de las distancias de donde los barcos se encuentren

Y como conocemos de manera parcial la medida del cateto adyacente, los dos ángulos de depresión según la ubicación de los dos barcos en los puntos sobre el agua, y nos piden hallar la altura del faro emplearemos la razón trigonométrica tangente para determinar la incógnita    

Hallamos la distancia x

Planteamos un sistema de ecuaciones

$\boxed {\bold {tan (53^o) = \frac{h}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to h = x \ . \ tan(53^o ) } }$

$\boxed {\bold {tan (37^o) = \frac{h}{x +14} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to h = (x + 14) \ . \ tan (37^o) } }$

Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de x

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(53^o)= (x + 14) \ . \ tan(37^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(53^o) = x \ . \ tan(37^o) +14 \ . \ tan(37^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(53^o) - x \ . \ tan(37^o) =14 \ . \ tan(37^o) }}$    

$\boxed { \bold {x \ . \ (tan(53^o) - \ tan(37^o)) =14\ . \ tan(37^o) }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 14 \ . \ tan(37^o) }{ tan(53^o) - \ tan(37^o) } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 37 grados es de }\bold{ \frac{3 }{4} }$

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 53 grados es de }\bold{ \frac{4}{3} }$      

$\boxed { \bold {x = \frac{ 14 \ . \ \frac{3}{4} }{ \frac{4}{3} \ - \ \frac{3 }{4} } \ m }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ \frac{42}{4} }{ \frac{4}{3} \ .\ \frac{4}{4} \ - \ \frac{3 }{4} \ .\ \frac{3}{3} } \ m }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ \frac{21}{2} }{ \frac{16}{12} \ - \ \frac{9 }{12} } \ m }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ \frac{21}{2} }{ \frac{7 }{12} } \ m }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{21}{2} \ . \ \frac{12}{7} \ m }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{252}{14} \ m }}$

$\large\boxed { \bold {x = 18 \ metros }}$

La distancia x es de 18 metros

Hallamos la altura h del faro

Hallamos el valor de h, reemplazando el valor hallado de x en cualquiera de las ecuaciones planteadas en el inciso anterior

Si

$\large\boxed {\bold {h = x \ . \ tan(53^o)}}$

$\textsf{Reemplazando }$

$\boxed {\bold {h = 18 \ m \ . \ \frac{4}{3} }}$    

$\boxed {\bold {h = \frac{72}{3} \ m }}$

$\large\boxed {\bold {h = 24 \ metros }}$

La altura h del faro es de 24 metros

Se adjunta gráfico a escala que representa la situación