Respuestas
Explicación paso a paso:
1.
Suponiendo que los catetos de un triangulo son:
cateto mayor = x
cateto menor = y
hipotenusa = z
Por propiedades de los lados del triangulo tenemos que:
x < z
y < z
Sumamos ambas inecuaciones:
x + y < z + z
x + y < 2.z
sumamos a ambos extremos z:
x + y + z < 2.z + z
Pero por dato del perimetro sabemos que: x + y + z = 21:
21 < 3.z
21/3 < z
7 < z
Entonces el valor minimo entero sera: z = 8.
Rpta: el valor minimo de la hipotenusa sera 8.
2.
Del triangulo ADC tenemos que la suma de sus angulos internos sera 180° con lo cual hallaremos el ∠ACD:
3.θ + 90 + ∠ACD = 180
3.θ + ∠ACD = 180 - 90
∠ACD = 90 - 3.θ
Del mismo modo desarrollamos el triangulo ERO donde tenemos que la suma de sus angulos internos sera 180° con lo cual hallaremos el ∠EOR:
θ + 90 + ∠EOR = 180
θ + ∠EOR = 180 - 90
∠EOR = 90 - θ
Ahora por angulos opuestos por el vertice tenemos las siguiente igualdades:
∠ACD = ∠NCO
90 - 3.θ = ∠NCO
∠EOR = ∠NOC
90 - θ = ∠NOC
Por ultimo la suma de angulos internos del triangulo NOC sera 180°:
∠NCO + ∠NOC + 80 = 180°
(90 - 3.θ) + (90 - θ) + 80 = 180°
260 - 4.θ = 180
260 - 180 = 4.θ
80 = 4..θ
80/4 = θ
20° = θ
3.
Por dato del problema el ∠AEI =70 y se sabe que la medida de angulos intenos del triangulo AEI es 180°:
α + θ + ∠AEI = 180
α + θ + 70 = 180
α + θ = 180 - 70
α + θ = 110
Ahora bien denominaremos como "D" al punto de interseccion de los lados IH y TC.
Luego hallaremos el ∠HDC sabiendo que la suma de angulos internos del triangulo rectangulo CDH es 180°:
x + 90 + ∠HDC = 180°
∠HDC = 180 - 90 - x
∠HDC = 90 - x
Por la propiedad de angulos opuestos por el vertice se cumple la siguiente igualdad:
∠HDC = ∠IDT
90 - x = ∠IDT
Por ultimo la suma de angulos internos de un cuadrilatero es igual a 360°:
90 + 2.α + 2.θ + ∠IDT = 360°
90 + 2.(α + θ) + 90 - x = 360
90 + 2.(110) + 90 - x = 360
90 + 220 + 90 - x = 360
400 - x = 360
400 - 360 = x
40 = x