Question

ayuda con este problema ​

Answer 1

Respuesta:

La respuesta sería la E.

Explicación paso a paso:

Podemos primero plantear el ejercicio de esta manera:

12^n * 12^2 - 12^n

(Recordemos que los exponentes de un número se suman cuando se multiplican las mismas bases) Ejemplo: 2^2 * 2^3 = 2² ⁺ ³

Obtenemos factor común 12^n:

12^n( 12^2 - 1)

12^2 = 144

Tenemos entonces:

12^n(144- 1) = 12^n(143)

Descomponemos 143:

143 I 11

13   I 13

1

Quedaría de esta manera:

12^n * 11 * 13

Descomponemos también 12:

12  I 2

6   I  2

3   I   3

1

Nos da como resultado:

2^2n * 3^n * 11 * 13

Ahora buscaremos la cantidad de divisores:

(2n + 1) (n + 1) (1 + 1) (1 + 1)

(4) (2n + 1) (n + 1)

4 (2n^2 + 2n + n + 1)

4(2n^2 + 3n + 1)

Nos dicen que tiene 107 divisores compuesto, es decir. Que faltan los divisores primos y el numero uno.

Divisores compuesto: 107

Número uno : 1

Divisores primos: (2 , 3, 11, 13) = 4

Divisores en total: 107 + 4 + 1 = 112

Igualamos la ecuación:

4(2n^2 + 3n + 1) = 112

2n^2 + 3n + 1 = 112/4

2n^2 + 3n + 1 = 28

2n^2 + 3n + 1 - 28 = 0

2n^2 + 3n - 27 = 0

Realizamos la ecuación cuadrática a partir del caso de factorización ax^2 + bx + c:

Multiplicamos y dividimos por dos:

$\frac{2n^2 + 3n - 54}{2}$

Debemos de buscar dos números que multiplicados nos de -54 y sumados 3:

Seria el -6 y el 9:

$\frac{(2n + 9)(2n - 6)}{2}$

Sacamos factor común dos en 2n - 6:

$\frac{(2n + 9)2(n - 3)}{2}$

"Cancelamos"

(2n + 9) (n - 3) = 0

Igualamos los polinomios a 0 por separado:

2n + 9 = 0,  2n = -9, n = - 9/2

n - 3 = 0, n = 3

Utilizamos el 3. Ya que debe n ser positivo. Es decir, n ≥ 0.

Hay que tener mucho cuidado. Ya que nos están pidiendo es la cantidad de divisores de n. Pues, si ponemos 3, estaría incorrecta la respuesta.

La respuesta sería la E.

Esto se debe a que tres es un número primo solo tiene dos divisores el uno y el mismo numero.

Espero haberte ayudado :)