Question

Sean u=i+αj y v=2i+βj. Determine α y β tales que:
a) u y v son ortogonales.
b) u y v son paralelos.
c) El ángulo entre u y v es π/4 .
d) El ángulo entre u y v es π/3

Answer 1

Partiendo de los datos y las propiedades de vectores se obtiene:

a) u y v son ortogonales.

α = -1

β = 2

b) u y v son paralelos.

α = 1

β = 2

c) El ángulo entre u y v es π/4

α = 1

β = 0

d) El ángulo entre u y v es π/3

α = 0

β = 2√3

Explicación paso a paso:

Datos;

u=i+αj

v=2i+βj

Determine α y β tales que:

a) u y v son ortogonales.

Para que dos vectores sean ortogonales su producto escalar es cero;

u · v = 0

sustituir;

(i +αj ) · (2i + βj) = 0

(1)(2)i + (α)(β)j = 0

2i + αβj = 0

αβ = -2

Asumir;

α = -1

β = -2/-1

β = 2

b) u y v son paralelos.

α = 0

β = 2√3

Para que dos vectores sean paralelos uno es proporcional al otro;

u = t(v)

sustituir;

1 + α = t(2 + β)

1 = 2t  ⇒ t = 1/2

α =  βt

α =  1/2 β

Asumir;

β = 2

α =  1/2 (2) = 1

α =  1

c) El ángulo entre u y v es π/4 .

El ángulo entre dos vectores;

Cos(Ф) = u·v / |u| ·|v|

sustituir;

Cos(π/4) = (1+α)·(2+β) / √1²+α² · √2²+β²

√2/2 = 2 + αβ /√1+α² · √4+β²

Asumir α = 1;

√2/2 = 2 + β /√2· √4+β²

√2/2 (√2 · √4+β²) = 2 + β

√4+β² = 2 + β

4+β² = (2 + β)²

4+β² =  4 + 4 β +β²

β = 0

d) El ángulo entre u y v es π/3

Cos(π/3) = (1+α)·(2+β) / √1²+α² · √2²+β²

1/2 = 2 + αβ /√1+α² · √4+β²

Asumir α = 0;

1/2 = 2  /√4+β²

√4+β² = 4

4+β² = 4²

4+β² = 16

β² = 12

β =  √12

β = 2√3