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Objetivos de Aprendizaje
· Identificar la hipotenusa, el cateto adyacente y el cateto opuesto de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo.
· Determinar las seis funciones trigonométricas de un ángulo dado en un triángulo rectángulo.
· Reconocer la relación recíproca entre seno/cosecante, coseno/secante, y tangente/cotangente.
· Usar una calculadora para encontrar el valor de las seis funciones trigonométricas para cualquier ángulo agudo.
· Usar una calculadora para encontrar la medida de un ángulo dado el valor de la función trigonométrica.
Introducción
Supongamos que quieres construir una rampa de acceso para un muelle de carga que está a 4 pies por encima del nivel del suelo. Quieres que sea posible empujar un carro por la rampa, y que el ángulo de elevación no exceda los 20°. ¿Qué tan larga debe ser la rampa?
U19_L1_T1_1
En este diagrama, tenemos un triángulo rectángulo del cual conocemos la longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo. Queremos encontrar la longitud de la hipotenusa. Probablemente sepas que el Teorema de Pitágoras te permite encontrar la longitud de un lado de un triángulo rectángulo, teniendo las longitudes de los otros dos lados. Ahora aprenderás trigonometría, que es la rama de las matemáticas que estudia la relación entre ángulos y lados de triángulos. De hecho, la trigonometría te permitirá encontrar las longitudes desconocidas y las medidas de los ángulos en triángulos rectángulos en una variedad de casos, como el problema anterior.
Los Lados de un Triángulo Rectángulo
En el ejemplo anterior, uno de los ángulos agudos mide 20°. Podrías describir el lado cuya medida es 4 pies como la altura del triángulo, o podrías decir que es el “opuesto” del ángulo de 20°. El otro lado del triángulo se llama “adyacente” al ángulo de 20°. En trigonometría, este tipo de relación entre lados y ángulos es muy importante. Estos dos lados de un triángulo rectángulo se llaman “catetos”, por lo que el lado opuesto se llama cateto opuesto y el lado adyacente se llama cateto adyacente.
La relación general entre lados y ángulos se muestra en el diagrama siguiente.
El ángulo A está formado por la hipotenusa y el cateto . Decimos que el cateto es adyacente al ángulo A. Decimos que el cateto es el lado opuesto al ángulo A. En otras palabras, el cateto adyacente es el lado que forma parte del ángulo; el cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo.
Ejemplo
Problema
¿Cuáles son las longitudes de los lados opuesto al ángulo X y adyacente al ángulo X?
U19_L1_T1_3
El lado opuesto al ángulo X es . Su longitud es 3. El lado adyacente al ángulo X es . Su longitud es 4.
Respuesta
longitud del lado opuesto: 3
longitud del lado adyacente: 4
Ten en cuenta que las palabras “opuesto” y “adyacente” dependen de qué ángulo se está tratando. El lado opuesto al ángulo no necesariamente es la altura del triángulo. Considera el siguiente ejemplo:
Ejemplo
Problema
¿Cuál es el nombre del lado opuesto al ángulo de 40° y el nombre del lado adyacente al ángulo de 40°?
U19_L1_T1_4
El ángulo 40° está formado por la hipotenusa y
, entonces es el lado adyacente. Como no forma parte del ángulo de 40°, es el lado opuesto.
Respuesta
lado opuesto:
lado adyacente:
Cada cateto en un triángulo rectángulo es adyacente a uno de los ángulos agudos y opuesto al otro ángulo agudo.
Ejemplo
Problema
En, el lado ¿a qué angulo es adyacente y a qué ángulo es opuesto?
U19_L1_T1_5
El lado y la hipotenusa forman . Entonces es adyacente a . Como no es parte del ángulo agudo , es el lado opuesto .
Respuesta
adyacente a
opuesto
Las Seis Funciones Trigonométricas
Supongamos que tu profesor les pide a ti y a otro estudiante dibujar un triángulo cuyos ángulos midan 35°, 55°, y 90°. Probablemente, tú y tu amigo dibujarán triángulos de distintos tamaños. Pero, como los triángulos tienen medidas iguales en sus ángulos, van a ser similares.
Recuerda que esto significa que los lados correspondientes de los triángulos tendrán longitudes proporcionales. Por ejemplo, un triángulo podría tener lados el doble de largos que el otro triángulo, como se ve abajo.
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