Question

Buenas noches, Necesito ayuda con este ejercicio y ofrezco 100 PUNTOS (por favor, debidamente justificada).

Responder falso o verdadero. Justifique sus respuestas:

a) El rango de la matriz de coeficientes de un SEL no puede ser mayor que el rango de su matriz aumentada.

b) Siempre un sistema de ecuaciones lineales (SEL) con mayor número de ecuaciones que de
incógnitas es inconsistente.

c) Si A y B son matrices n × n, entonces (A + B)² = A² + 2AB + B²

d) El producto de dos matrices no nulas compatibles para el producto, es siempre una matriz no nula.

e) En general el producto de matrices no es conmutativo, pero si A y B ∈ Rn×n , entonces los
productos AB y BA son posibles de realizar, de modo que AB = BA

-Gracias..

Answer 1

a) depende del tipo de sistema. Si el sistema es compatible, resulta ser cierto, pero si el sistema es incompatible no es cierto, en este caso puedes tener la última fila igual a
                                                             (0,0,0...,0:1)
Por lo tanto, en general es FALSO

b) no siempre, un ejemplo simple es
x+y=9
2x+2y=18
3x+3y=27
En general es FALSO, puesto que este sistema es compatible indeterminado

c)
(A + B)² = (A+B)(A+B) ....(def.)
(A + B)² = A(A+B) + B(A+B) ..... (dist. a la derecha)
(A + B)² = AA + AB + BA + BB ..... (dist. a la izquierda)
(A + B)² = A² +  AB + BA + B²

En general, es FALSO, puesto que no siempre se cumple la ley conmutativa en el producto de matrices

d) FALSO
contraejemplo
$(0\;1)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)=0$

e) FALSO
Contraejemplo

$\left[\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1&-1\\0&0\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&-1\\2&-2\end{matrix}\right]\\ \\ \\ \left[\begin{matrix}1&-1\\0&0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-1&0\\0&0\end{matrix}\right]$