Question

Claudia y Lidia están situadas cada una a un lado de una farola, se encuentran a 7,5 metros de distancia entre sí. Desde dónde está Claudia se forma un ángulo de 45° y desde la ubicación de Lidia se forma un ángulo de 35°, las dos rectas llegan a la parte superior de la farola. ¿Cuál es la altura de la farola?

Answer 1

La altura de la farola es de aproximadamente 3,09 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

En este problema vamos a configurar dos imaginarios triángulos rectángulos.  

El primer imaginario triángulo rectángulo ABC = desde donde observa Claudia

El cual está conformado por el lado BC (b) que equivale a la altura de la farola, el lado AB (a) que representa la distancia sobre la línea del suelo del observador -en este caso Claudia- hasta la farola - donde no conocemos esa distancia -a la cual llamaremos variable x- , y el lado AC (c) es la proyección visual hacia el punto más alto de la farola bajo un ángulo de 45°.  

El segundo imaginario triángulo rectángulo BCD = desde donde observa Lidia

El cual está conformado por el lado BC (b) que equivale a la altura de la farola, el lado BD (a1) que representa la distancia sobre la línea del suelo del observador, en este caso Lidia, hasta la farola - donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción de ella, y el lado CD (c1) es la proyección visual hacia la parte superior de la farola bajo un ángulo de 35°.  

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.

Conocemos en forma parcial la distancia a la farola y de dos ángulos de elevación hasta la parte superior de la misma, uno de ellos de 45° y el otro de 35°, dependiendo de como se ubiquen los observadores - Claudia y Lidia- en el plano del suelo y en cada extremo mientras ambas observan la parte superior de la farola en ambos casos

• Distancia entre los observadores = 7,50 m

• Distancia de los observadores a la farola  = x y 7,50 m - x

• Ángulo de elevación = 45°

• Ángulo de elevación = 35°  

• Debemos hallar la altura de la farola = lado BC = y

Para resolver este ejercicio vamos a plantear un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a las que llamaremos variable x y variable y.  

Donde "x" será la distancia a hallar sobre la línea horizontal hasta la farola, que equivale al lado AB del primer triángulo rectángulo.

Y dónde la incógnita "y" será la altura de la farola que es igual a la medida del lado BC de ambos triángulos rectángulos.  

Si 45° y 35° son uno de los ángulos agudos de cada uno de los dos triángulos rectángulos,  

Y la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Como conocemos de manera parcial la medida del cateto adyacente (lado BD sel segundo triángulo), los dos ángulos de elevación dependiendo de la ubicación de los observadores sobre la línea horizontal, y nos piden hallar la altura de la farola, vamos a relacionar los datos que tenemos con la tangente.

Como conocemos parcialmente el lado BD, y desconocemos el lado AB = incógnita x

Dónde el lado BC equivale a la altura de la farola =  incógnita y

Planteamos un sistema de ecuaciones,

$\boxed {\bold {tan (45)\° =\ \ \ \ \ \frac{y}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to y = x \ .\ tan(45)\° }}$

$\boxed {\bold {tan (35)\° = \frac{y}{7,5 -x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to y = (7,5 -x )\ .\ tan(35)\° }}$

Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de x,

$\boxed{\bold {x\ .\ tan(45)\° = (7,5 -x) \ . \ tan(35)\°}}$

$\boxed{\bold {x\ .\ tan(45)\° = 7,5 \ . \ tan(35)\° - \ x\ .\ tan(35)\°}}$

$\boxed{\bold {x\ .\ tan(45)\° +\ x\ .\ tan(35)\° = 7,5 \ .\ tan(35)\° }}$

$\boxed{\bold {x = \frac{ 7,5 \ .\ tan(35)\° }{ tan(45)\° +\\ tan(35)\° } }}$

$\boxed{\bold {x = \frac{ 7,5 \ .\ 0,70020 }{ 1 +0,70020 } }}$

$\boxed{\bold {x = \frac{ 5,25150 }{ 1,70020 } }}$

$\boxed{\bold {x \approx 3,09 \ metros }}$

La medida del lado AB = x es de ≅ 3,09 metros

Hallando la altura de la farola

Si

$\boxed {\bold {y = x\ . \ tan(45)\°}}$

y

$\boxed{\bold {x = \frac{ 7,5 \ .\ tan(35)\° }{ tan(45)\° +\\ tan(35)\° } }}$

Reemplazando,

$\boxed{\bold {y = \frac{ 7,5 \ .\ tan(35)\° .\ tan(45)\° }{ tan(45)\° + tan(35)\° } }}$

$\boxed{\bold {y = \frac{ 7,5 \ .\ 0,70020\ .\ 1 }{ 1 +0,70020 } }}$    

$\boxed{\bold {y = \frac{ 5,25150 }{ 1,70020 } }}$

$\boxed{\bold {y \approx 3,09 \ metros }}$

La altura de la farola es de ≅ 3,09 metros