Question

RESUELVE las siguientes derivadas utilizando las reglas para las funciones trigonométricas

y = 3 sen (x)

y = 4 sen (x) + 6 cos (x)

y = x² cos (x)

y = sen² (x)

y = tan² (3x⁵)
​

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Answer 2

Respuesta:

Explicación paso a paso:

y = 3 sen (x)

$\mathrm{Sacar\:la\:constante}:\quad \left(a\cdot f\right)'=a\cdot f\:'$

$3\frac{d}{dx}\left(\sin \left(x\right)\right)$

Pero derivada de seno es coseno por tanto

$\mathrm{Aplicar\:la\:regla\:de\:derivacion}:\quad \frac{d}{dx}\left(\sin \left(x\right)\right)=\cos \left(x\right)$

$3\cos \left(x\right)$

y = 4 sen (x) + 6 cos (x)

$\frac{d}{dx}\left(4\sin \left(x\right)+6\cos \left(x\right)\right)$

$\mathrm{Aplicar\:la\:regla\:de\:la\:suma/diferencia}:\quad \left(f\pm g\right)'=f\:'\pm g'$

$\frac{d}{dx}\left(4\sin \left(x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(6\cos \left(x\right)\right)$

Pero

$\frac{d}{dx}\left(4\sin \left(x\right)\right)=4\cos \left(x\right)$

$\frac{d}{dx}\left(6\cos \left(x\right)\right)=-6\sin \left(x\right)$

Por tanto

$4\cos \left(x\right)-6\sin \left(x\right)$

y = x² cos (x)

$\frac{d}{dx}\left(x^2\cos \left(x\right)\right)$

$\mathrm{Aplicar\:la\:regla\:del\:producto}:\quad \left(f\cdot g\right)'=f\:'\cdot g+f\cdot g'$

$f=x^2,\:g=\cos \left(x\right)$

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cos \left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos \left(x\right)\right)x^2$

Pero segun tabla de derivadas basicas

$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)=2x$

$\frac{d}{dx}\left(\cos \left(x\right)\right)=-\sin \left(x\right)$

Por tanto

$2x\cos \left(x\right)-x^2\sin \left(x\right)$

y = sen² (x)

$\frac{d}{dx}\left(\sin ^2\left(x\right)\right)$

$\mathrm{Aplicar\:la\:regla\:de\:la\:cadena}:\quad \frac{df\left(u\right)}{dx}=\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{d}{du}\left(u^2\right)\frac{d}{dx}\left(\sin \left(x\right)\right)$

$f=u^2,\:\:u=\sin \left(x\right)$

Segun tabla de derivadas basicas

$\frac{d}{dx}\left(\sin \left(x\right)\right)=\cos \left(x\right)$

$2u\cos \left(x\right)$

$\mathrm{Sustituir\:en\:la\:ecuación}\:u=\sin \left(x\right)$

$2\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)$

$\mathrm{Usar\:la\:siguiente\:identidad}:\quad \:2\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)=\sin \left(2x\right)$

$\sin \left(2x\right)$

y = tan² (3x⁵)

​$\frac{d}{dx}\left(\tan ^2\left(3x^5\right)\right)$

$\mathrm{Aplicar\:la\:regla\:de\:la\:cadena}:\quad \frac{df\left(u\right)}{dx}=\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{d}{du}\left(u^2\right)\frac{d}{dx}\left(\tan \left(3x^5\right)\right)$

$f=u^2,\:\:u=\tan \left(3x^5\right)$

Pero

$\frac{d}{du}\left(u^2\right)=2u$

$\frac{d}{dx}\left(\tan \left(3x^5\right)\right)=\sec ^2\left(3x^5\right)\cdot \:15x^4$

Simplificando

$2u\sec ^2\left(3x^5\right)\cdot \:15x^4$

$\mathrm{Sustituir\:en\:la\:ecuación}\:u=\tan \left(3x^5\right)$

$2\tan \left(3x^5\right)\sec ^2\left(3x^5\right)\cdot \:15x^4$

SIMPLIFICAMOS

$30x^4\sec ^2\left(3x^5\right)\tan \left(3x^5\right)$